Zadanie nr 2749469

Dany jest malejący ciąg geometryczny 2 (a,aq ,aq ) , którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez 3. Jeśli najmniejszy wyraz ciągu zwiększymy o 18, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Wiemy, że ciąg 2 (a,aq,aq ) jest malejący, więc jego najmniejszym wyrazem jest aq2 . W takim razie ciąg (a,aq,aq 2 + 18 ) jest arytmetyczny i mamy

2 aq = a+--aq-+--18- / ⋅2 2 − 18 = a + aq 2 − 2aq = a(1 + q2 − 2q) = a(1 − q)2 / : (1− q)2 a = --−1-8--. (1− q)2

Z założenia i są liczbami całkowitymi, więc 2 (q− 1) jest kwadratem liczby całkowitej dzielącym 18. Zatem (q − 1)2 = 1 lub (q− 1)2 = 9 . Pierwsza możliwość oznacza, że q − 1 = ± 1 , czyli q = 0 lub q = 2 . A druga oznacza, że q − 1 = ± 3 , czyli q = 4 lub q = − 2 . Ponieważ ciąg ma być malejący, musimy mieć q > 0 , czyli q = 2 lub q = 4 . Mamy wtedy odpowiednio