/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 8830946

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a , a , a 1 3 k ciągu (an ) , w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn) . Oblicz k .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z podanych informacji o ciągu arytmetycznym otrzymujemy układ równań

{ 2a +10r 1 87 = S11 = -12---⋅ 11 = (a1 + 5r)⋅ 11 1 2 = a1+a3+a9 = a1+(a1+2r)+-(a1+-8r) = a + 10r 3 3 1 3

Podstawiamy teraz 10 a1 = 12 − 3 r z drugiego równania do pierwszego.

( 10 ) 187 = 12− --r + 5r ⋅ 11 / : 1 1 3 5- 17 = 12+ 3r 5 5 = -r ⇒ r = 3. 3

Mamy stąd 10 a1 = 12 − 3 r = 2 , więc

a = a + 2r = 2 + 6 = 8 3 1 ak = a1 + (k− 1)r = 2+ (k− 1)⋅3 = 3k− 1.

Wiemy, że liczby a1,a3,ak tworzą ciąg geometryczny, więc

2 a3 = a1ak 82 = 2⋅ (3k− 1) / : 2 32 = 3k − 1 ⇒ 3k = 33 ⇒ k = 1 1.

 
Odpowiedź: k = 1 1

Wersja PDF