/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 9062712

Suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , jest równa 90, a suma a9 + a10 jest równa 57,5. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów na an i Sn .

{ 57,5 = a9 + a 10 = a1 + 8r + a1 + 9r = 2a 1 + 1 7r 90 = S8 = 2a12+7r⋅8 = 4(2a1 + 7r) / : 4 { 57,5 = 2a1 + 17r 22,5 = 2a + 7r 1

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić a1 ) mamy

35 7 3 5 = 10r ⇒ r = ---= -. 10 2

Z drugiego równania mamy

2a1 = 22,5− 7r = 22,5 − 24,5 = − 2 ⇒ a1 = − 1.

Sposób II

Na mocy wzoru a1+an- Sn = 2 ⋅n na sumę n początkowych wyrazów ciągu (an ) , mamy

a1 + a10 147,5 = 90+ 57,5 = S 10 = --------⋅ 10 ⇒ a1 + a10 = 29,5. 2

Stąd

2 8 7 57 ,5 = a9 + a10 = a1 + 8r+ a10 = 29,5+ 8r ⇒ r = --- = -- 8 2

oraz

2 9,5 = a1 + a10 = 2a1 + 9r = 2a1 + 31,5 ⇒ a1 = − 1.

 
Odpowiedź: a = − 1,r = 7 1 2

Wersja PDF