Zadanie nr 9118007

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 3, a suma sześcianów wszystkich jego wyrazów jest równa 10183- . Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu i jego iloraz.

Rozwiązanie

Suma wyrazów ciągu geometrycznego (an) daje nam równość

-a1--- S = 3 = 1− q.

Spróbujmy ustalić jak będzie z sumą sześcianów. Ciąg 3 (an) też jest ciągiem geometrycznym, ale o ilorazie

3 ( ) 3 an+1-= an+-1 = q3. a3n an

Mamy więc

108- --a31--- 13 = 1 − q3.

Daje to nam układ równań

{ a = 3(1 − q ) 1 13a31 = 108(1 − q3).

Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego i mamy

3 2 13 ⋅27(1 − q) = 1 08(1− q)(1+ q+ q ) 13(1 − q)2 = 4(1+ q+ q2) 2 2 13 − 26q + 1 3q = 4 + 4q + 4q 9q2 − 30q + 9 = 0 3q2 − 10q + 3 = 0 Δ = 100 − 36 = 64 1- q1 = 3 q = 3 . 2

Po drodze podzieliliśmy przez 1 − q – mogliśmy to zrobić, bo szereg ma być zbieżny, więc |q| < 1 . Drugie rozwiązanie odrzucamy (bo ma być |q| < 1 ) i mamy q = 13 oraz