/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2017

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony
(stara formuła) 2 czerwca 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2|x + 1|− |x− 2| = 9 .

Zadanie 2
(3 pkt)

Wykaż, że dla √ --- a = log 13 + log 27 5 5 i √ -- b = log 3− log 93 5 5 prawdziwa jest równość ba = 196 .

Zadanie 3
(5 pkt)

Ciąg (an) jest arytmetyczny, a ciąg (bn ) jest geometryczny. Pierwszy wyraz a 1 ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego (bn) . Wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz b 1 ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego (an ) . Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (bn) jest równa 18. Wyznacz te ciągi.

Zadanie 4
(5 pkt)

Rozwiąż równanie 2 2 cos4x + 5 sin x = 3 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 5
(3 pkt)

Miary kątów trójkąta ABC są równe α = |∡BAC | , β = |∡ABC | i γ = |∡ACB | . Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki AS i BS przecinają boki BC i AC tego trójkąta w punktach odpowiednio D i E (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że jeżeli α + β = 2γ , to na czworokącie DCES można opisać okrąg.

Zadanie 6
(5 pkt)

Prosta l , na której leży punkt P = (8,2) , tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36. Wyznacz równanie prostej l .

Zadanie 7
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoramienny o podstawie |AB | = b i kącie α pomiędzy ramionami. Krawędź CD jest wysokością ostrosłupa, a kąt nachylenia ściany ABD do podstawy ostrosłupa jest równy β . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Zadanie 8
(4 pkt)

Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 15. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Zadanie 9
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 − 3mx + 2m 2 + 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału (− ∞ ,3) .

Zadanie 10
(6 pkt)

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P . Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP .

Zadanie 11
(3 pkt)

Prawdopodobieństwo tego, że z pewnej grupy osób wylosujemy osobę znającą język angielski jest równe 0,4, prawdopodobieństwo wylosowania osoby znającej język francuski jest równe 0,2, natomiast prawdopodobieństwo wylosowania osoby znającej oba te języki jest równe 0,1. Wykaż, że prawdopodobieństwo wylosowania osoby, która zna język angielski i nie zna języka francuskiego jest trzy razy większe od prawdopodobieństwa wylosowania osoby, która zna język francuski i nie zna języka angielskiego.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania