Zadanie nr 9248861

Wyznacz zbiór wartości funkcji

1 1 1 f(x ) = 1+ ------+ --------2 + -------3-+ ⋅⋅⋅ x − 1 (x − 1 ) (x− 1)

określonej dla wszystkich wartości , dla których prawa strona powyższego wzoru jest sumą wyrazów zbieżnego szeregu geometrycznego.

Rozwiązanie

Wyznaczmy najpierw dziedzinę funkcji . Ze względu na mianownik musi być x ⁄= 1 . Ponadto, iloraz q = x1−1- szeregu deﬁniującego funkcję musi spełniać

|q| < 1 1 -------< 1 |x − 1| 1 < |x− 1| x− 1 < − 1 lub x − 1 > 1 x < 0 lub x > 2 .

Przy tym założeniu funkcję możemy zapisać w postaci (korzystamy ze wzoru na sumę wszystkich wyrazów szeregu geometrycznego).

-a1--- ---1---- --1- x−--1- x−--2+--1- --1--- f(x) = 1− q = 1 − --1- = x−2-= x− 2 = x− 2 = 1 + x − 2 . x− 1 x−1

Wykresem tej funkcji jest hiperbola y = 1 x przesunięta o 2 jednostki w prawo i jedną jednostkę do góry. Szkicujemy ten wykres.

Z wykresu widać, że na zbiorze (− ∞ ,0)∪ (2,+ ∞ ) funkcja przyjmuje wartości

( ) ( ) 1 − 1-,1 ∪ 1,+ ∞ = 1,1 ∪ 1,+ ∞ . 2 ( ) 2 ( )

Odpowiedź: ( ) 1,1 ∪ (1,+ ∞ ) 2