Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2289107

Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest o 65 większy od różnicy kwadratów liczby największej i najmniejszej. Znajdź te liczby.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy szukane przez 2n − 1,2n + 1 ,2n+ 3 . Musimy zatem wyznaczyć całkowite rozwiązania równania

 2 2 (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3 ) = (2n + 3) − (2n − 1) + 65 (4n 2 − 1)(2n + 3) = 4n 2 + 1 2n + 9− (4n2 − 4n + 1) + 65 8n 3 + 12n2 − 2n − 3 = 16n + 73 3 2 8n + 12n − 18n − 7 6 = 0 / : 2 4n 3 + 6n2 − 9n − 38 = 0.

Próbujemy odgadnąć jeden z pierwiastków tego równania – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z pierwiastków jest n = 2 . Dzielimy więc lewą stronę równania przez (n− 2) – my zrobimy to grupując wyrazy.

 3 2 3 2 2 4n + 6n − 9n − 38 = (4n − 8n )+ (1 4n − 28n) + 19n − 38 = 2 2 = 4n (n − 2)+ 1 4n(n − 2) + 19(n − 2 ) = (n − 2)(4n + 14n + 19).

Sprawdzamy jeszcze, że trójmian w nawiasie nie ma rozwiązań rzeczywistych:

Δ = 142 − 4⋅ 4⋅19 = − 108 < 0.

W takim razie jedynym rozwiązaniem jest n = 2 , czyli liczby: 3, 5, 7.  
Odpowiedź: 3, 5, 7

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!