Zadanie nr 2289107

Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest o 65 większy od różnicy kwadratów liczby największej i najmniejszej. Znajdź te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy szukane przez 2n − 1,2n + 1 ,2n+ 3 . Musimy zatem wyznaczyć całkowite rozwiązania równania

2 2 (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3 ) = (2n + 3) − (2n − 1) + 65 (4n 2 − 1)(2n + 3) = 4n 2 + 1 2n + 9− (4n2 − 4n + 1) + 65 8n 3 + 12n2 − 2n − 3 = 16n + 73 3 2 8n + 12n − 18n − 7 6 = 0 / : 2 4n 3 + 6n2 − 9n − 38 = 0.

Próbujemy odgadnąć jeden z pierwiastków tego równania – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z pierwiastków jest n = 2 . Dzielimy więc lewą stronę równania przez (n− 2) – my zrobimy to grupując wyrazy.