Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1065621

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D ,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i FD ⊥ AC .


PIC


Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy z trójkątów ADF , BED i CF E jest trójkątem prostokątnym z kątem 60∘ , czyli połówką trójkąta równobocznego. Jeżeli więc oznaczymy DB = x , CE = y i AF = z , to AD = 2AF = 2z , BE = 2DB = 2x i CF = 2CE = 2y .


PIC


Stąd

{ 2z+ x = AB = BC = 2x + y ⇒ 2z = x + y 2x+ y = BC = CA = 2y + z ⇒ 2x = y + z.

Jeżeli odejmiemy od pierwszego z tych równań drugie, to mamy

2z − 2x = x− z ⇒ 3z = 3x ⇒ z = x.

Stąd y = 2z − x = x i wszystkie trzy trójkąty ADF , BED i CF E są przystające. To oczywiście oznacza, że trójkąt DEF jest równoboczny. Musimy jeszcze wyznaczyć skalę podobieństwa k tego trójkąta z trójkątem ABC . Zauważmy, że

 ∘ ------------ ∘ ----------- ---- DF = AD 2 − AF 2 = (2x )2 − x2 = √ 3x2 = √ 3x,

więc

 √ -- √ -- k = DF--= --3x-= --3. AB 3x 3

Ponieważ pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, mamy stąd

 ( √ --) 3 2 1 PDEF = k2PABC = ---- PABC = --PABC . 3 3
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!