Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1136830

Dane są trzy okręgi o1 , o2 i o3 . Okręgi o1 , o2 są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o3 (patrz rysunek). Promienie okręgów o1 i o2 są odpowiednio równe r1 i r2 , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka EF jest równa  √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek EF jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów o1 i o2 .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech S będzie punktem styczności okręgów o1 i o2 , a A i B niech będą punktami styczności tych okręgów z okręgiem o3 .


PIC


Sposób I

Wiemy, że środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, więc AB jest średnicą okręgu o3 . W takim razie trójkąt ABE jest prostokątny. Prosta EF jako styczna do o 1 i o 2 jest prostopadła do prostej łączącej środki tych okręgów, czyli do AB . W takim razie ES jest wysokością w trójkącie ABE .

Aby obliczyć długość odcinka ES zauważmy, że trójkąty ASE i ESB są podobne (bo każdy z nich jest podobny do trójkąta AEB ). W takim razie

AS-- SE- SE = SB 2 SE = AS ⋅SB = √2r1 ⋅-2r2 =√ 4r1r2 EF = 2SE = 2 ⋅2 r1r2 = 4 r1r2.

Sposób II

Korzystamy z tego, że wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego ma długość równą średniej geometrycznej długości odcinków, na które wysokość ta dzieli przeciwprostokątną. Mamy zatem

 √ -------- ∘ -------- √ ---- EF = 2ES = 2 AS ⋅ SB = 2 2r1 ⋅2r2 = 4 r1r2.

Sposób III

Tym razem patrzymy na trójkąt prostokątny EST , gdzie T jest środkiem największego okręgu. Mamy w nim

 AB ET = AT = ----= r1 + r2 2 ST = AT − AS = r1 + r2 − 2r1 = r2 − r1.

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa

 ∘ ----------- ∘ ---------------------- ∘ ----- EF = 2ES = 2 = ET 2 − ST 2 = 2 (r1 + r2)2 − (r2 − r1)2 = 2 4r1r2 = 4 √r-1r2.
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!