Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1275676

Na bokach BC ,CA i AB trójkąta ABC wybrano punkty K,L ,M takie, że

BK--= CL--= AM---= k,gdzie k ∈ (0,+ ∞ ). KC LA MB

Wyznacz wartość k , dla której stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC jest najmniejszy.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Pole trójkąta KLM obliczamy odejmując od pola trójkąta ABC pola trójkątów AML ,BKM i CLK . Zauważmy najpierw, że z założenia AM = k⋅MB , więc

AM--- ----AM----- ---k-⋅MB------ --k--- AB = AM + MB = k⋅ MB + MB = k+ 1.

Podobnie

AL-- ----AL------ --1--- AC = AL + k⋅ AL = k + 1 .

Korzystamy teraz ze wzoru z sinusem.

P = 1-AM ⋅AL sin∡A = 1-⋅ --k--⋅AB ⋅ --1--AC sin ∡A AML 2 2 k+ 1 k+ 1 k 1 k = -------2 ⋅--AB ⋅ AC sin ∡A = -------2PABC . (k + 1) 2 (k+ 1)

Analogicznie obliczamy

 ---k---- PBKM = PCLK = (k + 1 )2 PABC .

Mamy zatem

 3k PKLM = PABC − PAML − PBKM − PCLK = PABC − -------2PABC = ( ) (k+ 1 ) ---3k--- = 1− (k + 1)2 PABC .

Zatem

P 3k --KLM-= 1 − --------. PABC (k + 1)2

Liczymy pochodną otrzymanej funkcji

 ′ 2 2 ′ 2 2 f ′(k) = − (3k)-⋅(k-+-1)-−--3k(k-+--2k+--1)-= − 3⋅ (k+--1)-−--2k-−--2k = (k + 1)4 (k + 1)4 (k + 1)(k + 1 − 2k) (k+ 1)(k− 1) = − 3 ⋅------------------- = 3⋅ -------------- (k+ 1)4 (k+ 1)4

To oznacza, że pochodna jest ujemna na przedziale (0,1) i dodatnia na przedziale (1 ,+∞ ) , czyli funkcja f jest malejąca na przedziale (0,1⟩ i rosnąca na ⟨1,+ ∞ ) . Najmniejszy stosunek pól otrzymamy więc, gdy k = 1 , czyli gdy punkty K ,L,M są środkami boków.  
Odpowiedź: k = 1

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!