/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 1275676

Na bokach BC ,CA i AB trójkąta ABC wybrano punkty K,L ,M takie, że

BK--= CL--= AM---= k,gdzie k ∈ (0,+ ∞ ). KC LA MB

Wyznacz wartość k , dla której stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC jest najmniejszy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Pole trójkąta KLM obliczamy odejmując od pola trójkąta ABC pola trójkątów AML ,BKM i CLK . Zauważmy najpierw, że z założenia AM = k ⋅MB , więc

AM--- ----AM----- ---k-⋅MB------ --k--- AB = AM + MB = k⋅ MB + MB = k+ 1.

Podobnie

AL-- ----AL------ --1--- AC = AL + k⋅ AL = k + 1 .

Korzystamy teraz ze wzoru z sinusem.

P = 1-AM ⋅AL sin∡A = 1-⋅ --k--⋅AB ⋅ --1--AC sin ∡A AML 2 2 k+ 1 k+ 1 k 1 k = -------2 ⋅--AB ⋅ AC sin ∡A = -------2PABC . (k + 1) 2 (k+ 1)

Analogicznie obliczamy

 ---k---- PBKM = PCLK = (k + 1 )2 PABC .

Mamy zatem

 3k PKLM = PABC − PAML − PBKM − PCLK = PABC − -------2PABC = ( ) (k+ 1 ) ---3k--- = 1− (k + 1)2 PABC .

Zatem

P 3k --KLM-= 1 − --------. PABC (k + 1)2

Liczymy pochodną otrzymanej funkcji

 ′ 2 2 ′ 2 2 f ′(k) = − (3k)-⋅(k-+-1)-−--3k(k-+--2k+--1)-= − 3⋅ (k+--1)-−--2k-−--2k = (k + 1)4 (k + 1)4 (k + 1)(k + 1 − 2k) (k+ 1)(k− 1) = − 3 ⋅------------------- = 3⋅ -------------- (k+ 1)4 (k+ 1)4

To oznacza, że pochodna jest ujemna na przedziale (0,1) i dodatnia na przedziale (1 ,+∞ ) , czyli funkcja f jest malejąca na przedziale (0,1⟩ i rosnąca na ⟨1,+ ∞ ) . Najmniejszy stosunek pól otrzymamy więc, gdy k = 1 , czyli gdy punkty K ,L,M są środkami boków.  
Odpowiedź: k = 1

Wersja PDF
spinner