/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 1498264

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym ∘ |∡ACB | = 90 i √ -- sin ∡BAC = --10- 5 . Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD | : |DB | = 3 : 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Z podanego sinusa obliczmy tg α = tg ∡BAC = tg ∡BCD .

∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- √ --- 2 1-0 15- --15- cosα = 1 − sin α = 1 − 2 5 = 25 = 5 √10- √ --- ∘ -- tgα = sin-α = √5--= √-10-= 2- cos α -15- 15 3 5

Jeżeli oznaczymy CD = h , to w trójkątach prostokątnych ACD i BCD mamy

-CD- = tg α ⇒ AD = --h- AD tg α BD ----= tg α ⇒ BD = h tg α. CD

Zatem

-h- AD-- = --tgα--= --1-- = (---1-)--= 3-. BD h tgα tg2 α ∘ 2- 2 2 3
Wersja PDF