/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 9928884

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Okrąg o średnicy AB przecina bok BC w punkcie D .


PIC


Wykaż, że |CD | = |DB | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy odcinek AD .


PIC

Ponieważ kąt ∡ADB jest oparty na średnicy, więc jest prosty. To oznacza, że odcinek AD jest wysokością trójkąta ABC . Ale wysokość w trójkącie równobocznym pokrywa się ze środkową, czyli CD = DB .

Sposób II

Niech E będzie punktem wspólnym okręgu i boku AE , a O niech będzie środkiem okręgu. Połączmy punkt O z punktami D i E , oraz dorysujmy odcinek ED . Zauważmy, że oba trójkąty BOD i AOE są równoramienne i każdy z nich ma kąt o mierze 60∘ . Są zatem równoboczne. To oznacza, że

∡EOD = 180∘ − ∡AOE − ∡BOD = 60∘,

czyli trójkąt równoramienny EOD też jest równoboczny. To z kolei oznacza, że dwa kąty trójkąta EDC są równe 60∘ , czyli to też jest trójkąt równoboczny. Dodatkowo wszystkie narysowane trójkąty równoboczne są przystające, czyli w szczególności CD = DB .

Sposób III

Dorysujmy odcinek OD .


PIC

Trójkąt ABC jest równoboczny i bok AB jest średnicą okręgu, zatem każdy z jego boków ma długość 2r , gdzie r jest promieniem danego okręgu. W szczególności BC = 2r . Teraz patrzymy na trójkąt OBD – jest on równoramienny, bo OD = OB = r oraz jeden z jego kątów miarę  ∘ 60 . Trójkąt ten jest więc równoboczny, czyli DB = r . To oznacza, że

CD = BC − BD = 2r − r = r = BD .
Wersja PDF
spinner