Zadanie nr 7923031

Punkt jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku ABCD , a punkt jest takim punktem boku tego równoległoboku, że |BP | : |P C| = 3 . Oblicz współrzędne spodka wysokości opuszczonej z wierzchołka tego równoległoboku na prostą , jeżeli −→ AB = [4,4] , −→ DS = [3,− 3] i ( ) P = 7, 7 2 2 .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Obliczymy najpierw współrzędne wierzchołków równoległoboku. Zauważmy, że

−→ −→ −→ −→ → −→ −→ BC = BD + DC = 2SD + AB = − 2DS + AB = = − 2[3,− 3]+ [4,4] = [− 2,1 0].

Wiemy ponadto, że punkt dzieli odcinek w stosunku 3:1, więc

[ ] −→ 1-−→ 1- 1-5- PC = 4 BC = 4 [− 2,10 ] = − 2,2 .

Teraz łatwo już wyznaczyć współrzędne wierzchołka C = (xC ,yC) .

[ ] [ ] 1-5- −→ 7- 7- − 2,2 = PC = xC − 2,yC − 2 ⇒ C = (xC,yC ) = (3,6).

Teraz korzystając ze współrzędnych wektorów −→ BC i → −→ AB = DC obliczamy współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku.

−→ [− 2,10] = BC = [3 − xB,6 − yB ] ⇒ B = (xB ,yB) = (5,− 4) −→ [4,4] = AB = [5 − xA ,− 4− yA] ⇒ A = (xA ,yA ) = (1,− 8) −→ [4,4] = DC = [3 − x ,6 − y ] ⇒ D = (x ,y ) = (− 1,2). D D D D

Piszemy teraz równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 6 = 3a + b 2 = −a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

4 = 4a ⇒ a = 1.

Stąd b = 2 + a = 3 i prosta ma równanie y = x+ 3 . Wysokość jest prostopadła do tej prostej, więc ma równanie postacie y = −x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .