/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Różne

Zadanie nr 5737884

W poniższej tabeli podane są wartości funkcji kwadratowej g dla kilku wybranych argumentów zapisanych w kolejności rosnącej:

x -2 -1 0 1  
g(x ) -4 1 2 -1
  • Wyznacz wzór funkcji g .
  • Uzupełnij brakujące zapisy w tabeli.
  • Rozwiąż nierówność g(x) ≤ 1 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Szukamy funkcji w postaci 2 f(x) = ax + bx + c . Z podanych informacji wiemy, że
    ( |{ f(− 1) = − 4 ⇒ a − b + c = − 4 |( f(0) = 1 ⇒ c = 1 f(1) = 2 ⇒ a+ b + c = 2.

    Dodając do pierwszego równania trzecie (żeby skrócić b ) mamy

    2a + 2c = − 2 ⇒ a = − 1− c = − 2.

    Zatem z pierwszego równania

    b = a+ c+ 4 = − 2+ 1+ 4 = 3.

     
    Odpowiedź: − 2x2 + 3x + 1

  • W pierwszym brakującym miejscu wpisujemy f(− 2) = − 8− 6+ 1 = − 13 , a w drugim taką liczbę x > 1 , dla której f(x ) = − 1 . Można tę liczbę ogadnąć lub rozwiązać równanie:
    2 − 2x + 3x + 1 = − 1 2x2 − 3x − 2 = 0 Δ = 9+ 16 = 25 ⇒ x1 = 3-−-5-= − 1, x 2 = 3-+-5-= 2 . 4 2 4

    Zatem f(2) = − 1 .

    x -2 -1 0 1 2
    g(x ) -13 -4 1 2 -1
  • Liczymy
    − 2x2 + 3x + 1 ≤ 1 2 − 2x + 3x ≤ 0 2x2 − 3x ≥ 0 ( ) 3- 2x x− 2 ≥ 0 ⟨ ) x ∈ (− ∞ ,0⟩ ∪ 3,+ ∞ 2

     
    Odpowiedź: ⟨ 3 ) x ∈ (− ∞ ,0⟩∪ 2,+ ∞

Wersja PDF