Ze zbioru liczb wybieramy jednocześnie dwie liczby (nie uwzględniamy kolejności). Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że:
ich różnica będzie liczbą parzystą,
suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery?
Rozwiązanie
Aby różnica była liczbą parzystą to obie liczby muszą być parzyste bądź nieparzyste. Liczby nieparzyste w podanym przedziale to
Jest zatem tych liczb . Podobnie, liczb parzystych jest . Mamy więc
takich par. Odpowiedź:
Kiedy suma kwadratów dwóch liczb jest podzielna przez 4? Na pewno muszą być tej samej parzystości. Jeżeli obie są nieparzyste, czyli np. i , to
A więc liczba ta nie dzieli się przez 4. Zatem obie liczby muszą być parzyste. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że jest