/Szkoła średnia/Kombinatoryka

Zadanie nr 5752139

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli pierwszą cyfrą utworzonej liczby jest liczba parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby. Wśród pozostałych cyfr mają być dwie cyfry nieparzyste – ich miejsce możemy wybrać na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 4 cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

4 4 4 ⋅6 ⋅5 = 24 ⋅5 .

takich liczb.

Jeżeli natomiast pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem musimy jeszcze ustalić, gdzie ma być druga cyfra nieparzysta – możemy to zrobić na 4 sposoby. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 4 cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

5⋅ 4⋅5 4 = 4⋅5 5.

takich liczb.

Wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest więc

24⋅ 54 + 4⋅55 = 15000 + 1250 0 = 27500 .

Sposób II

Nie przejmujmy się na razie faktem, że pierwsza cyfra tworzonej liczby ma być niezerowa, tzn. obliczmy ile jest pięcioelementowych ciągów cyfr (a ,a ,a ,a ,a ) 1 2 3 4 5 , w których są dokładnie dwie cyfry nieparzyste. Musimy najpierw wybrać dwa miejsca dla cyfr nieparzystych – robimy to na

( 5) 5 ⋅4 = ---- = 1 0 2 2

sposobów. Potem każdą z cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

10 ⋅55

takich ciągów. Nie każdy taki ciąg wyznacza jednak liczbę pięciocyfrową – aby tak było pierwszy wyraz ciągu musi być niezerowy. Obliczmy ile jest złych ciągów, tzn. takich o pierwszym wyrazie równym 0. Jeżeli na początku mamy zero, to wciąż musimy wybrać miejsca dla cyfr nieparzystych – możemy to zrobić na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów. Potem każdą z pozostałych czterech cyfr wybieramy na 5 sposobów. Jest więc

6⋅54

ciągów zaczynających się od zera. W sumie jest więc

10 ⋅55 − 6 ⋅54 = 54(10 ⋅5 − 6) = 625 ⋅(50 − 6) = 625⋅ 44 = 2750 0

liczb spełniających warunki zadania.

Sposób III

Jeżeli w utworzonej liczbie mają być dwie cyfry nieparzyste, to pozostałe trzy cyfry są parzyste. Obliczymy ile jest liczb pięciocyfrowych o takiej własności.

Miejsca dla trzech cyfr parzystych możemy wybrać na (5) 3 sposoby, ale musimy być trochę ostrożniejsi, bo pierwszą cyfrą nie może być 0.

Jeżeli pierwsza (najbardziej znacząca) cyfra liczby jest parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby (nie może być 0). Potem na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów wybieramy miejsca dla pozostałych cyfr parzystych i każdą z 4 cyfr wybieramy na 5 sposobów. W sumie jest więc

4 ⋅6⋅ 5⋅5 ⋅5 ⋅5 = 150 00

takich liczb.

Jeżeli pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem na

( ) ( ) 4 4 = = 4 3 1

sposoby wybieramy miejsca dla cyfr parzystych i każdą z 4 cyfr wybieramy na 5 sposobów. W sumie jest więc

5 ⋅4⋅ 5⋅5 ⋅5 ⋅5 = 125 00

takich liczb.

Wszystkich możliwości jest więc

150 00+ 12500 = 27500.

 
Odpowiedź: 27500

Wersja PDF