Zadanie nr 7055337

Ze zbioru liczb {1,2,...,2n + 5} wybieramy jednocześnie dwie liczby (nie uwzględniamy kolejności). Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że:

ich różnica będzie liczbą parzystą,
suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Aby różnica była liczbą parzystą to obie liczby muszą być parzyste bądź nieparzyste. Liczby nieparzyste w podanym przedziale to
$1 = 2 ⋅0 + 1, 3 = 2 ⋅1+ 1,...,2n + 5 = 2(n + 2)+ 1 .$

Jest zatem tych liczb . Podobnie, liczb parzystych jest . Mamy więc

$(n + 3) (n + 2) (n + 3)(n + 2) (n+ 2)(n + 1) + = ---------------+ ---------------= 2 2 2 2 (n+--2)(2n-+-4)- 2 = 2 = (n+ 2) .$

takich par.
Odpowiedź:
Kiedy suma kwadratów dwóch liczb jest podzielna przez 4? Na pewno muszą być tej samej parzystości. Jeżeli obie są nieparzyste, czyli np. i , to
$(2n + 1)2 + (2m + 1)2 = 4(n2 + n + m 2 + m )+ 2.$

A więc liczba ta nie dzieli się przez 4. Zatem obie liczby muszą być parzyste. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że jest

$( ) n + 2 = (n-+-2-)(n+--1) 2 2$

takich par.
Odpowiedź: