/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 4721167

W trójkącie ABC na boku zaznaczono punkt , na boku zaznaczono punkt , na boku punkt . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu należą punkty A , E , F , do – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Zauważmy, że jeżeli jest punktem wspólnym okręgów i , to wystarczy udowodnić, że okrąg przechodzący przez punkty C , D , E przechodzi też przez . Wystarczy zatem udowodnić, że na czworokącie CESD można opisać okrąg, czyli, że ∘ ∡DSE + γ = 180 .

Aby to zrobić zauważmy, że na każdym z czworokątów BDSF i AF SE można opisać okrąg, więc

∘ ∡DSF = 1 80 − β ∡F SE = 180∘ − α .

Zatem

∡DSE = 360∘ − ∡DSF − ∡F SE = α+ β = 180 ∘ − γ .

Rozwiązanie Losuj ponownie