Trójkąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono prostą równoległą do boku , która przecina boki i odpowiednio w punktach i .
Wykaż, że |ED | = |EA |+ |DB | .

W trójkącie równoramiennym ABC ( AC = BC ) poprowadzono wysokości i . Wiedząc że AB 2 = CK ⋅AM wyznacz cosinus kąta przy podstawie trójkąta.

W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do prostej tak, że należy do , należy do oraz |MN | = |AM |+ |BN | . Oblicz |MN | , jeśli |AB | = c , a miary kątów trójkąta przy boku wynoszą oraz .

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne takie, że trójkąt o bokach n ,n+ 2,n + 3 jest rozwartokątny.

W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a = 12 cm i wysokości h = 18 cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na podstawie, a po jednym na każdym ramieniu trójkąta, przy czym przekątne prostokąta są równoległe do ramion trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta.

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą niż ∘ 12 0 . Na bokach tego trójkąta zbudowano trójkąty równoboczne ABM , BCK i CAL (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że .
Wykaż, że proste , i przecinają się w jednym punkcie (jest to tzw. punkt Torricellego-Fermata).

Środkowa trójkąta ABC jest równa bokowi . Wyznacz kąty trójkąta ABC wiedząc, że |AB | = 4 i √ -- |BC | = 2 3 .

Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Prosta przechodząca przez punkty i przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie . Wykaż, że trójkąt BDW jest równoramienny.

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 12 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Ukryj Podobne zadania

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i 15 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sinβ+-sinγ- sin α = cosβ+ cos γ to trójkąt ten jest prostokątny.

W okrąg wpisany jest trójkąt ABC , przy czym ∡B = β i ∡C = γ < β . Oblicz miarę kąta między prostą i styczną do okręgu w punkcie .

Trójkąt prostokątny ABC ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.

Udowodnij że jeśli dwie dwusieczne w trójkącie są sobie równe to trójkąt jest równoramienny (twierdzenie Steinera-Lehmusa).

Wyznacz miary kątów trójkąta, w którym wysokość i środkowa poprowadzona z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na 3 równe części.

Obwód trójkąta ABC jest równy 8. Oblicz obwód trójkąta KLM o wierzchołkach będących środkami środkowych trójkąta ABC .

Punkt przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC zrzutowano na przeciwprostokątną otrzymując punkt . Wykaż, że |∡MAN | = |∡MCN | .

Dwusieczna kąta trójkąta ABC przecina bok w punkcie , a dwusieczna kąta przecina bok w punkcie . Dwusieczne przecinają się w punkcie . Znajdź miarę kąta , jeżeli wiadomo, że na czworokącie ATOS można opisać okrąg.

Na bokach i trójkąta ostrokątnego ABC opisano, jako na średnicach, dwa okręgi. Gdzie leży punkt przecięcia się tych okręgów (różny od punktu B)?

W trójkąt ABC , w którym |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β , wpisano okrąg. Punkty K ,L,M są punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AB , BC i . Wykaż, że |∡MKL | = α+β- 2 .

W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok trójkąta w punkcie . Wykaż, że

BD-- = AB-. DC AC

Strona 1 z 4