Trójkąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Trójkąty ABC i DEF wpisano w ten sam okrąg. Udowodnij, że równość obwodów tych trójkątów jest równoważna równości sum sinusów ich kątów wewnętrznych.

Dany jest trójkąt ABC , w którym |BC | = a . Z wierzchołka poprowadzono środkową do boku . Punkt jest środkiem odcinka . Przez punkty i poprowadzono prostą, która przecięła bok w punkcie . Wykaż, że długość odcinka jest równa 2a 3 .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC oraz punkt na jego boku taki, że 2 |AD | = 3|AB | . Z wierzchołka poprowadzono środkową do boku . Punkt jest punktem wspólnym odcinków i . Wykaż, że punkt jest środkiem odcinka .

Odcinek jest wysokością przedstawionego na rysunku trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Punkt jest rzutem punktu wysokości na bok . Udowodnij, że ∡CAK = ∡KDL .

Ukryj Podobne zadania

Odcinek jest wysokością przedstawionego na rysunku trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Punkt jest rzutem punktu wysokości na bok . Udowodnij, że trójkąt CLD jest podobny do trójkąta CKB .

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

Ukryj Podobne zadania

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości i , a jego przeciwprostokątna ma długość . Wykaż, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r = a+b−c- 2 .

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o polu .

Uzasadnij, że suma długości wysokości w dowolnym trójkącie jest mniejsza od jego obwodu.

W trójkącie ABC na boku zaznaczono punkt , na boku zaznaczono punkt , na boku punkt . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu należą punkty A , E , F , do – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

Ukryj Podobne zadania

Okrąg przechodzi przez wierzchołek trójkąta ABC i przecina jego boki i odpowiednio w punktach i . Okrąg przechodzi przez wierzchołek , przecina okrąg w punkcie oraz w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok trójkąta w punkcie .

Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

W trójkącie ABC na boku wybrano takie punkty ′ A i ′ B , że

1 |AA ′| = |BB ′| < --|AB |. 2

Przez punkty ′ A i ′ B poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio i . Proste te przecięły się w punkcie . Wykaż, że odcinek jest zawarty w środkowej trójkąta ABC .

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC o bokach długości |AB | = 8,|BC | = 6,|AC | = 10 jest styczny do boków i w punktach i . Proste i przecinają się punkcie . Oblicz pole trójkąta EBF .

Trójkąty równoboczne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że |AD | = |BE | .

Na ramionach i trójkąta równoramiennego ABC wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest równoległy do podstawy i styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

∘ ------------ |AB |2 |AB |⋅|P Q | --------------------. 2(|AB |− |P Q |)

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą od ∘ 120 . Wyznacz taki punkt wewnątrz trójkąta ABC , dla którego suma |PA |+ |P B| + |PC | jest najmniejsza możliwa.

ZINFO-FIGURE

Z punktu należącego do boku trójkąta równobocznego ABC poprowadzono półprostą dzielącą trójkąt na dwie ﬁgury o równych polach. Oblicz tangens kąta jaki tworzy ta półprosta z odcinkiem , jeśli |AP | : |PB | = m i m ⁄= 1 .

Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty ACDE i BF GC . Odcinek przecina przyprostokątną w punkcie , a odcinek przecina przyprostokątną w punkcie (zobacz rysunek). Udowodnij, że |KC | = |LC | .

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | wysokość jest dwa razy dłuższa od wysokości (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC .

W trójkącie równobocznym ABC o wysokości obrano punkt , z którego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa .

Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.

Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC zaznaczono odpowiednio punkty i tak, że |AK-|= |CL-|= 1 |KB | |LA | 2 . Odcinki i przecinają się w punkcie . Oblicz |MB | |MK-| .