Trójkąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

Na boku trójkąta ABC wybrano punkt tak, by |∡CAD | = |∡ABC | . Odcinek jest dwusieczną kąta DAB . Udowodnij, że |CE | = |AC | .

W trójkącie a : b : c = 4 : 5 : 6 . Wykaż, że w tym trójkącie γ = 2α .

Boki trójkąta A1B 1C1 są styczne do okręgu w punktach A , B, C , a kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe α, β, γ . Oblicz miary kątów trójkąta A 1B1C 1 .

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sin α = 2 cos γsin β to trójkąt ten jest równoramienny.

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość i jest pięć razy krótsza od obwodu tego trójkąta. Oblicz długości boków trójkąta.

Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku.

Wykaż, że punkty A ,E i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Na bokach BC ,AC i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D,E i . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4. Jakie pole ma koło opisane na tym kwadracie?

W trójkącie równoramiennym (patrz rysunek) długość podstawy wynosi , zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe i . Kąt między ramieniem trójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę .

Wyraź w zależności od wielkości i .
Wyraź w zależności od wielkości i .
Wykaż, że jeśli , to .

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym długości boków tworzą ciąg geometryczny, a miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny.

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC . Wykaż, że prawdziwa jest równość |BC |2 − |AC |2 = |AB |⋅|AC | .

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC ,CA ,AB odpowiednio w punktach D ,E,F . Punkty M ,N ,J są odpo- wiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty AEF ,BDF ,DEF . Dowieść, że punkty i są symetryczne względem prostej .

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt