/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 2811896

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trójkąt prostokątny ABC ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Jeżeli połączymy środek okręgu dopisanego do boku AB , to otrzymamy kwadrat o boku równym szukanemu promieniowi. Oznaczymy długości odcinków łączących punkty A i B z punktami styczności okręgu i prostych zawierających boki trójkąta przez a i b . Oczywiście wystarczy obliczyć a lub b . Mamy układ równań

{ a + b = 5 3 + b = 4 + a

Podstawiając do drugiego równania za a z pierwszego mamy

3 + b = 4+ 5− b 2b = 6 b = 3.

Zatem szukany promień ma długość 3+ b = 6 .  
Odpowiedź: 6

Wersja PDF