Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne n takie, że... Zadania.info: losowe zadanie, Kąty w trójkącie, 1679087

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Kąty w trójkącie

Zadanie nr 1679087

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne $n$ takie, że trójkąt o bokach $n ,n+ 2,n + 3$ jest rozwartokątny.

Rozwiązanie

Ponieważ w trójkącie naprzeciwko większego kąta leży większy bok, to kąt rozwarty $α$ musi być naprzeciwko boku długości $n+ 3$ .

Sposób I

Na mocy twierdzenia cosinusów mamy

(n + 3)2 = n2 + (n + 2)2 − 2n (n+ 2)co sα n-2 +-(n-+-2)2 −-(n-+-3)2 0 > cos α = 2n(n + 2) 0 > n2 + n 2 + 4n + 4− n 2 − 6n− 9 2 0 > n − 2n − 5 0 > n2 − 2n + 1 − 6 2 0 > (n − 1) − 6.

Widać, że nierówność ta jest spełniona tylko dla $n = 1,2,3$ . Ponieważ z odcinków 1,3,4 nie da się zbudować trójkąta (bo 4=3+1), tylko dla $n = 2$ lub $n = 3$ istnieje trójkąt spełniający warunki zadania.

Sposób II

Korzystamy z tego, że trójkąt o bokach $a ≤ b ≤ c$ jest trójkątem rozwartokątnym wtedy i tylko wtedy, gdy $a2 + b2 < c2$ (tak naprawdę udowodniliśmy tę własność w I sposobie). Rozwiązujemy więc nierówność

2 2 2 n + (n + 2) < (n + 3) n 2 + n 2 + 4n+ 4− n2 − 6n − 9 < 0 2 n − 2n − 5 < 0.

Dalszą część rozwiązania prowadzimy dokładnie tak samo jak w I sposobie.

Rozwiązanie

Losuj ponownie

Legalni bukmacherzy

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Linki sponsorowane