/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 1137751

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów na an i Sn .

{ 34 = a9 = a1 + 8r 14 4 = S8 + a9 = S 9 = 2a1+2-8r⋅9 = 9(a1 + 4r) / : 9 { 34 = a1 + 8r 16 = a + 4r 1

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić a1 ) mamy

18 9 18 = 4r ⇒ r = ---= -. 4 2

Z drugiego równania mamy

a1 = 34 − 8r = 34− 36 = − 2.

Sposób II

Na mocy wzoru a1+an- Sn = 2 ⋅n na sumę n początkowych wyrazów ciągu (an ) , mamy

a1 + a9 144 = S8 + a9 = S9 = -------⋅9 ⇒ a1 + a9 = 32. 2

Stąd a = 32 − a = 3 2− 34 = − 2 1 9 . Korzystamy teraz ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego.

36 9 3 4 = a9 = a1 + 8r ⇒ 8r = 3 4+ 2 = 36 ⇒ r = ---= -. 8 2

 
Odpowiedź: a1 = − 2,r = 92

Wersja PDF