/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne

Zadanie nr 7916871

Prosta o równaniu y = ax przecina parabolę o równaniu 1 2 1 y = 2x − 2 w dwóch punktach i . Wykaż, że styczne do tej paraboli w punktach i są prostopadłe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Musimy najpierw wyznaczyć pierwsze współrzędne punktów wspólnych danej prostej i paraboli – podstawiamy y = ax do równania paraboli.

ax = 1-x2 − 1- 2 2 1 2 1 -x − ax − --= 0 2 2 2 Δ = a + 1 ∘ -2---- ∘ -2---- x 1 = a− a + 1, x 2 = a+ a + 1.

Liczymy pochodną

′ f (x) = x.

Współczynniki interesujących nas stycznych są więc równe

′ ∘ ------ f (x1) = a − a 2 + 1 ′ ∘ --2--- f (x2) = a + a + 1.

Teraz wystarczy zauważyć, że

∘ ------ ∘ ------ f′(x1)⋅ f′(x 2) = (a− a2 + 1)(a + a2 + 1) = a 2 − (a2 + 1) = − 1,

co dowodzi, że styczne rzeczywiście są prostopadłe.

Wersja PDF