/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne

Zadanie nr 5888941

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz z definicji pochodną funkcji n f(x) = x , gdzie n ∈ N + .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

n n n−1 n−2 n− 3 2 n− 2 n−1 (a − b ) = (a− b )(a + a b + a b + ⋅⋅⋅+ ab + b ).

Liczymy pochodną w punkcie x0 .

′ f(x)-−-f(x0)- xn-−-xn0- f (x0) = lx→imx 0 x − x = lxi→mx0 x − x = 0 n−1 n− 2 0 n− 2 n−1 (x−--x0)(x----+-x----x0-+-⋅⋅⋅+--xx0---+-x-0--)- = lx→imx 0 x− x0 = n− 1 n−2 n− 2 n−1 n−1 = lx→imx 0(x + x x0 + ⋅⋅⋅+ xx0 + x 0 ) = nx 0 .

 
Odpowiedź: f′(x) = nxn −1

Wersja PDF