Zadanie nr 9809758
Ile liczb trzycyfrowych podzielnych przez 9 ma następującą własność: suma cyfr ilorazu tej liczby przez 9 jest o 9 mniejsza od sumy jej cyfr?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 11
Rozwiązanie
Niech 
będzie liczbą spełniającą warunek z treści zadania. Ponieważ 
jest podzielna przez 9, to przez dziewięć dzieli się też suma jej cyfr. Jest ona zatem równa 9,18 lub 27. 9 i 27 łatwo wyeliminować, gdyż suma cyfr liczby 
równa 9 oznacza, że 
ma sumę cyfr równą 0, co jest niemożliwe. Podobnie, gdy suma cyfr jest równa 
, to 
i 
i się nie zgadza.
Zatem suma cyfr liczby 
wynosi 18, a więc suma cyfr liczby 
wynosi 
. W szczególności, 
dzieli się przez 9, czyli 
dzieli się przez 81. Teraz wystarczy posprawdzać wszystkie wielokrotności 81 mniejsze od 1000. Jak się to zrobi, to okazuje się, że liczb o opisanej własności jest 5: 486,567,648,729,972.
Odpowiedź: D
