Zadanie nr 1337103

Oblicz granicę

( 2n 2n+1 ) lim √4--+ 8-+ -1√6--+ 32-+ ⋅ ⋅⋅+ ----2--√--+ 2----- . n→+ ∞ 5 5 5 5 25 5n −1 ⋅ 5 5n

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie jest sumą początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1 = √45 i ilorazie q = 2√5- . W takim razie interesująca nas granica to suma wszystkich wyrazów ciągu (a ) n , czyli jest ona równa

√4- √ -- -- -a-1--= ---5---= √--4----= -√--4(--5-+√-2)-----= 4 √ 5+ 8. 1 − q 1− √2- 5 − 2 ( 5− 2)( 5 + 2) 5

Sposób II

Zauważmy, że

( ) -4-- 8- -16-- 32- ---2-2n----- 22n+1- nli→m+ ∞ √ 5 + 5 + 5√ 5 + 25 + ⋅ ⋅⋅+ 5n− 1 ⋅√ 5 + 5n = ( √ -- √ -- √ -- ) 4--5+--8- 16--5-+-3-2 22n--5+--22n+1- = n→lim+ ∞ 5 + 25 + ⋅⋅⋅+ 5n = ( ) √ -- 4- 16- 22n- = ( 5 + 2) nl→im+∞ 5 + 25 + ⋅⋅⋅+ 5n

Widać teraz, że mamy do czynienia z sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (an) , w którym a 1 = q = 45 . Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa