Zadanie nr 5895658

Wykaż, że ciąg -1 n an = (1 + n ) jest zbieżny.

Rozwiązanie

Sposób I

Zaczniemy od lematu

Lemat
Dla dowolnego k ≥ 1 i n ∈ N prawdziwa jest nierówność

( ) -1- n ≤ -1--. nk k 2k−1

Dowód Liczymy

( ) 1-- n = 1--⋅ n(n-−-1)(n-−-2)⋅⋅⋅(n-−-k-+-1)-= nk k nk k! 1 n n − 1 n− 2 n − k + 1 1 = -- ⋅--⋅------⋅ ------⋅⋅⋅----------≤ --= k! n n n n k! -----1------ -----1------ --1-- = 1 ⋅2⋅ 3⋅⋅⋅k ≤ 1 ⋅2⋅ 2⋅⋅⋅2 = 2k− 1.

Korzystając z powyższego lematu, łatwo wykazać, że ciąg jest ograniczony z góry. Korzystając z dwumianu Newtona i ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, mamy

( 1)n (n ) 1 (n ) 1 (n ) 1 (n ) 1 1+ -- = ---+ --⋅⋅⋅+ ---+ ⋅⋅⋅+ --- ≤ n 0 n 0 1 n k nk n nn 1- -1- --1-- ≤ 1+ 1+ 2 + 22 + ⋅⋅⋅ + 2n− 1 < < 1+ 1+ 1-+ -1-+ ⋅⋅⋅ + --1--+ ⋅⋅⋅ = 1+ --1---= 3. 2 22 2n− 1 1 − 12

Pokażemy teraz, że ciąg jest rosnącym, co zakończy dowód jego zbieżności. Aby pokazać monotoniczność wykorzystamy nierówność Bernoullego

(1 + x)k ≥ 1 + kx , gdzie x ≥ − 1 i k ≥ 0 całkowite

Mamy zatem

( ) --1- n+ 1 ( ) (n-+2)n+ 1 an+1- -1-+-n+-1----- 1- --n+1----- an = ( 1)n = 1+ n ⋅( n+1)n +1 = 1 + n -n-- ( ) ( )n +1 ( ) ( )n +1 -1 n-(n+--2) 1- n-2 +-2n-+-1−--1 = 1 + n ⋅ (n+ 1)2 = 1 + n ⋅ (n + 1)2 = ( ) ( )n+ 1 ( ) ( ) -1 ----1---- 1- --n-+-1-- = 1 + n ⋅ 1 − (n + 1 )2 ≥ 1+ n 1 − (n + 1)2 = ( ) = n-+-1-⋅ 1− --1--- = n-+--1⋅ --n---= 1 . n n + 1 n n + 1

Zatem ciąg jest niemalejący. Gdyby uważnie przyjrzeć się nierówności Bernoullego, to byłoby jasne, że tak naprawdę powyższa nierówność jest ostra, czyli ciąg jest rosnący. Do dowodu wystarcza jednak słaba nierówność, więc nie będziemy się nad tym rozwodzić.

Sposób II

Rozważmy ciąg ( )n+ 1 bn = 1 + 1n . Mamy

( ) ( )n ( ) b = 1 + 1- 1+ 1- = 1 + 1- a > a . n n n n n n

Podobnie jak poprzednio pokazujemy, że ciąg jest niemalejący. Pokażemy również, że ciąg b n jest malejący, co na mocy powyższej nierówności oznacza, że