Zadanie nr 1004692

Dla jakich wartości parametru równanie 2 2 x + y − 2mx + 2m − 1 = 0 opisuje okrąg?

Rozwiązanie

Przekształcamy podane równanie (zwijamy do pełnych kwadratów)

2 2 x + y − 2mx + 2m − 1 = 0 (x 2 − 2mx + m 2) − m 2 + y 2 + 2m − 1 = 0 2 2 2 (x − m ) + y = m − 2m + 1 (x − m )2 + y2 = (m − 1)2.

Otrzymane równanie jest równaniem okręgu wtedy i tylko wtedy gdy prawa strona jest dodatnia (bo ma to być kwadrat promienia), czyli dla m ⁄= 1 .

Środek i promień okręgu to odpowiednio i . Ta wartość bezwzględna przy promieniu jest bardzo ważna! – inczej mielibyśmy ujemny promień.
Odpowiedź: Środek: , promień:
Sposób I

Okrąg jest styczny do prostej dokładnie wtedy gdy jego środek jest od tej prostej odległy o długość promienia. Moglibyśmy korzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej, ale sytuacja jest na tyle banalna (prosta jest pionowa), że wystarczy zdrowy rozsądek. Odległość punktu od prostej to dokładnie . Jak już stwierdziliśmy, odległość ta ma być równa promieniowi, co daje równanie

$|m − 4| = |m − 1|.$

Wartości bezwzględne dwóch liczb są równe, gdy te liczby są równe, lub gdy są przeciwne. Mamy zatem dwa przypadki

$m − 4 = m − 1 ⇒ − 4 = − 1 5- − m + 4 = m − 1 ⇒ m = 2.$

Na zakończenie możemy naszkicować sobie całą sytuację.

Sposób II

Możemy też skorzystać z faktu, że okrąg i prosta są styczne wtedy i tylko wtedy gdy mają jeden punkt wspólny. Zatem po wstawieniu do równania okręgu musimy otrzymać równanie, które ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wstawiamy

$(4 − m )2 + y2 = (m − 1)2 y 2 = m 2 − 2m + 1 − 16 + 8m − m 2 2 y = 6m − 15.$

Jest tylko jedna możliwość, aby to równanie miało dokładnie jedno rozwiązanie: prawa strona musi być równa zero. Zatem .
Odpowiedź: