/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 1309036

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dane są punkty A = (2,1), B = (4,1), S1 = (− 22,1 ) i S 2 = (8,1) . Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali dodatniej i środku S 1 , jak i w jednokładności o skali ujemnej i środku S2 . Oblicz współrzędne punktów C i D .

Rozwiązanie

Wykonujemy szkicowy rysunek – niestety niewiele on nam pomoże, bo wszystkie podane punkty leżą na jednej prostej.

PIC

Oznaczmy przez k > 0 skalę podobieństwa odcinków CD i AB (tzn. k = |CD-| |AB | ). W takim razie jednokładność o środku S 1 ma skalę k , a jednokładność o środku S2 ma skalę − k . Jednocześnie, jeżeli pierwsza przekształca punkty A i B na C i D odpowiednio, to druga przekształca A na D , a B na C . Te informacje pozwalają wyznaczyć współrzędne punktów C i D .

Oznaczmy C = (c,1) i D = (d,1) . Mamy zatem

( −→ −→ ( −→ −→ { S1C = k⋅S 1A { S 2D = −k ⋅S 2A ( −→ −→ ∧ ( −→ − → S1D = k⋅ S1B S 2C = −k ⋅S2B . { { [c+ 22,0] = k ⋅[2 4,0] ∧ [d − 8 ,0 ] = −k ⋅[− 6,0] [d + 22,0] = k ⋅[26,0] [c − 8,0] = −k ⋅[− 4,0].

Otrzymujemy stąd układ równań.

( || c + 22 = 24k |{ d + 2 2 = 26k ||| d − 8 = 6k ( c − 8 = 4k

Odejmując od pierwszego równania ostatnie mamy

3 30 = 20k ⇒ k = -. 2

Zatem

3- c− 8 = 4⋅ 2 = 6 ⇒ c = 14 3 d− 8 = 6 ⋅--= 9 ⇒ d = 17 . 2

To oznacza, że C = (14,1) i D = (17,1) .  
Odpowiedź: (14,1) i (17 ,1)

Wersja PDF