/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 1344846

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (− 1,2) i C = (2,28) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego, w którym AC = BC . Prosta zawierająca wysokość opuszczoną z wierzchołka C ma równanie 2y + x = 58 . Oblicz pole trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Niech D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C . Aby wyznaczyć współrzędne punktu D napiszemy równanie prostej AB i znajdziemy jej punkt wspólny z prostą CD . Wiemy, że prosta CD ma równanie 1 y = − 2x + 29 , a prosta AB jest do niej prostopadła, więc ma równanie postaci y = 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A .

2 = −2 + b ⇒ b = 4.

Zatem prosta AB ma równanie y = 2x + 4 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego z prostą CD .

{ y = − 12x + 29 y = 2x + 4

Odejmując od drugiego równania pierwsze otrzymujemy

5 0 = -x − 25 ⇒ x = 10. 2

Stąd y = 2x + 4 = 24 i D = (10,24 ) .

Aby obliczyć pole trójkąta ABC musimy obliczyć długość podstawy i długość wysokości

∘ ---------------------- ∘ ---------- AB = 2AD = 2 (10 + 1)2 + (24− 2)2 = 2 112 + 222 = ∘ ----------- √ ------ √ -- = 2 112(1 + 4) = 22 1+ 4 = 22 5 ∘ ----------------------- √ -------- ∘ ---------- √ -- CD = (10− 2)2 + (24− 28)2 = 64 + 16 = 16(4 + 1) = 4 5.

Pozostało obliczyć pole trójkąta ABC .

√ -- √ -- P = 1AB ⋅CD = 1-⋅22 5 ⋅4 5 = 4 4⋅5 = 220. ABC 2 2

 
Odpowiedź: 220

Wersja PDF