Zadanie nr 1478761

W okrąg o równaniu 2 2 x + y − 12x − 8y + 32 = 0 wpisano trójkąt równoboczny ABC w którym A = (2;6 ) . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw podane równanie okręgu.

2 2 x + y − 12x − 8y + 32 = 0 (x2 − 12x + 36) + (y2 − 8y + 16 ) = 20 2 2 √ --2 (x − 6) + (y− 4) = (2 5) .

Możemy teraz naszkicować opisaną sytuację.

Sposób I

Jeżeli przez oznaczymy długość boku szukanego trójkąta równobocznego, to promień okręgu opisanego na tym trójkącie to wysokości, czyli

√ -- √ -- 2- a--3- a--3- 3 ⋅ 2 = 3 .

Mamy zatem

√ -- √ -- a--3- √ -- 6--5- √ --- 3 = 2 5 ⇒ a = √ -- = 2 1 5. 3

Szukamy zatem punktów (x ,y) , które leżą na danym okręgu i których odległość od wynosi √ --- 2 15 . Mamy więc układ równań

{ 2 2 √ --2 (x − 6) + (y− 4) = (2√ 5)- = 2 0 (x − 2)2 + (y− 6)2 = (2 15)2 = 60 { x2 + y2 − 12x − 8y + 32 = 0 2 2 x + y − 4x − 12y − 20 = 0

Odejmując te równania stronami mamy

− 8x + 4y + 52 = 0 − 2x + y + 13 = 0 y = 2x − 13.

Podstawimy teraz wyliczoną wartość do równania okręgu

2 2 x + y − 12x − 8y+ 32 = 0 x 2 + (2x − 13)2 − 12x − 8(2x − 13 )+ 32 = 0 x 2 + 4x 2 − 52x+ 169 − 12x − 1 6x+ 104 + 32 = 0 2 5x − 8 0x+ 305 = 0 x 2 − 16x + 61 = 0.

Liczymy dalej Δ = 2 56− 244 = 12 ,

√ -- x = 8 − 3 1 √ -- x2 = 8 + 3

Wtedy

√ -- y1 = 3 − 2 3 √ -- y2 = 3 + 2 3

Sposób II

Tym razem rozpoczynamy od uproszczenia opisanej sytuacji – przesuwamy interesujące nas ﬁgury o wektor [− 6,− 4] tak, aby dany okrąg miał środek w punkcie (0,0) . Po tym przesunięciu punkt przejdzie w ′ A = (2− 6,6− 4) = (− 4,2) . Wszystkie punkty otrzymanego okręgu mają współrzędne postaci √ -- 2 5(cos α,sin α) . Rozpocznijmy od obliczenia funkcji trygonometrycznych kąt , dla którego otrzymujemy punkt A ′ .

{ √ -- co sα = −√4- (− 4,2) = A′ = 2 5 (cosα,sin α) ⇒ 225 sin α = 2√-5

Współrzędne pozostałych wierzchołków B ′,C′ trójkąta równobocznego otrzymamy obracając punkt ′ A o ∘ − 120 i o ∘ 1 20 . Zanim obliczymy współrzędne tych punktów zauważmy, że