Zadanie nr 2365104

Okrąg o środku jest wpisany w trójkąt ABC , gdzie A = (− 3,5) . Wiedząc, że okrąg ten jest styczny do boków i odpowiednio w punktach K = (0,− 1) i L = (3,2) oblicz długość odcinka .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Plan jest następujący: skoro interesujący nas okrąg jest styczny do prostych i w punktach i to punkt leży na przecięciu prostych przechodzących przez te punkty i prostopadłych odpowiednio do boków i . Napiszemy więc równania prostych i , a to pozwoli wyliczyć współrzędne punktu .

Sposób I

Aby napisać równania prostych i skorzystamy z równania

p(x − a )+ q(y − b ) = 0

prostej prostopadłej do wektora → v = [p ,q] i przechodzącej przez punkt P = (a,b) .

W przypadku prostej mamy

−→ →v = AK = [0 − (− 3),− 1 − 5] = [3,− 6]

oraz P = K = (0,− 1) . Zatem prosta ma równanie

3x − 6(y + 1) = 0 / : 3 x− 2y − 2 = 0.

W przypadku prostej mamy

→v = −A→L = [3 − (− 3),2 − 5] = [6,− 3]

oraz P = L = (3,2) . Zatem prosta ma równanie

6(x − 3)− 3(y − 2) = 0 / : 3 2x − 6 − y + 2 = 0 y = 2x − 4.

Szukamy teraz punktu wspólnego tych dwóch prostych.

{ x = 2y + 2 y = 2x − 4

Podstawiając x = 2y + 2 z pierwszego równania do drugiego mamy

y = 2(2y + 2) − 4 y = 4y ⇐ ⇒ y = 0.

Zatem x = 2y + 2 = 2 i O = (2,0) .

Teraz bez trudu liczymy żądaną odległość

∘ ------------------- √ -------- √ -- |AO | = (2 + 3 )2 + (0 − 5)2 = 25+ 25 = 5 2.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora to możemy równania prostych i wyznaczyć bardziej konwencjonalnie – wyznaczając najpierw równania prostych i , potem pisząc równania prostych do nich prostopadłych i przechodzących odpowiednio przez punkty i .

Możemy oczywiście korzystać z równania prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale my będziemy unikać tego wzoru, bo raczej nie upraszcza on rachunków.

Szukamy prostej w postaci y = ax+ b przechodzącej przez A = (− 3,5) i K = (0,− 1) .

{ 5 = − 3a + b − 1 = b

Odejmując od pierwszego równania drugie mamy 6 = − 3a , czyli a = − 2 i prosta ma równanie y = −2x − 1 .

Od razu wyznaczmy równanie prostej . Jest ona prostopadła do , więc ma postać 1 y = 2x + b . Współczynnik wyznaczmy podstawiając współrzędne punktu , b = − 1 . Zatem prosta ta ma równanie y = 1x − 1 2

Teraz szukamy prostej y = ax + b przechodzącej przez A = (− 3,5 ) i L = (3,2) .

{ 5 = − 3a + b 2 = 3a + b

Odejmując od pierwszego równania drugie mamy 3 = − 6a , czyli 1 a = − 2 . Współczynnik nie jest nam potrzebny, więc możemy go nie liczyć.

Wyznaczmy teraz równanie prostej . Jest ona prostopadła do , więc ma postać y = 2x + b . Współczynnik wyznaczmy podstawiając współrzędne punktu

2 = 6+ b ⇒ b = − 4.

Zatem prosta ta ma równanie y = 2x− 4 .

Teraz szukamy punktu wspólnego prostych 1 y = 2x − 1 i y = 2x− 4 . Od razu porównujemy -ki.

1x − 1 = 2x − 4 2 3- 3 = 2 x x = 2.

Zatem y = 2x − 4 = 0 i O = (2,0) . Mamy stąd

∘ ------------------- √ -------- √ -- |AO | = (2 + 3 )2 + (0 − 5)2 = 25+ 25 = 5 2.

Sposób III

Zadanie możemy też rozwiązać zgadując z obrazka współrzędne punktu O = (2,0) (co nie jest specjalnie trudne) i wykazując, że rzeczywiście jest to szukany punkt.

Aby wykazać, że punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC wystarczy pokazać, że odcinki i mają równe długości oraz, że są prostopadłe odpowiednio do prostych i .

Zacznijmy od prostopadłości – zrobimy to sprawdzając, że iloczyny skalarne −→ −→ AK ∘ OK oraz −→ −→ AL ∘OL są równe 0. Liczymy

−→ AK = [0 + 3,− 1 − 5] = [3,− 6] −→ −→ − → OK = [0 − 2,− 1 − 0] = [− 2,− 1] ⇒ AK ∘OK = − 6+ 6 = 0 −→ AL = [3 + 3,2 − 5] = [6,− 3] −O→L = [3− 2,2− 0] = [1,2] ⇒ −A→L ∘ −O→L = 6 − 6 = 0.

Pozostało sprawdzić, że |−O→K | = |−O→L | .

−→ √ ------ √ -- |OK | = 4 + 1 = 5 −→ √ ------ √ -- |OL | = 1+ 4 = 5.

Zatem rzeczywiście punkt jest szukanym środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC .

Długość odcinka obliczamy jak w poprzednich sposobach.

Sposób IV

Tym razem użyjemy więcej geometrii – zauważmy, że jeżeli jest środkiem odcinka to trójkąty ASK i AKO są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku ). Mamy więc