/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 2566303

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (− 2,− 4) i C = (3,1) są wierzchołkami rombu ABCD , którego wierzchołek D leży na prostej y = 2x + 14 . Wyznacz współrzędne punktów B i D .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Obliczamy współrzędne punktu przecięcia się przekątnych rombu.

( ) ( ) S = A-+--C-= −-2+-3-, −-4-+-1 = 1,− 3- . 2 2 2 2 2

Sposób I

Szukamy punktu D = (x,2x + 1 4) , który leży na prostej y = 2x + 14 i jest który jest równoodległy od punktów A i C .

2 2 AD = CD (x + 2)2 + (2x + 1 4+ 4 )2 = (x− 3)2 + (2x+ 14 − 1)2 (x + 2)2 + (2x + 1 8)2 = (x− 3)2 + (2x + 13)2 2 2 2 2 x + 4x + 4+ 4x + 72x + 324 = x − 6x+ 9+ 4x + 52x + 169 30x = − 150 ⇒ x = − 5.

Stąd y = 2x + 14 = 4 i D = (− 5,4) . Współrzędne wierzchołka B wyznaczamy korzystając z tego, że S jest środkiem odcinka BD .

B + D S = ------- ⇒ 2S = B + D ⇒ B = 2S− D = (1,− 3)− (− 5,4) = (6,− 7). 2

Sposób II

Tym razem napiszemy równanie symetralnej odcinka AC (czyli przekątnej BD ) i znajdziemy jej punkt wspólny D z daną prostą. Równanie prostej DB napiszemy korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt S = (x ,y ) 0 0 :

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→ → v = AC = [5,5]

i ( ) S = 12,− 32 . Zatem prosta BD ma równanie

( ) ( ) 5 x− 1- + 5 y + 3- = 0 / : 5 2 2 x + y + 1 = 0 y = −x − 1.

Szukamy teraz punktu wspólnego prostej BD i danej prostej y = 2x+ 14 . Podstawiamy w tym drugim równaniu y = −x − 1 .

−x − 1 = 2x + 1 4 ⇒ 3x = −1 5 ⇒ x = − 5.

Stąd y = −x − 1 = 4 i D = (− 5,4) . Współrzędne punktu B wyznaczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: B = (6,− 7), D = (−5 ,4)

Wersja PDF