Zadanie nr 5521273

Przedłużenia ramion i trapezu równoramiennego ABCD przecinają się w punkcie S = (− 14,15 ) . Wyznacz współrzędne wierzchołków i tego trapezu, jeżeli A = (− 8,− 15) i C = (− 9,14) .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Sposób I

Wiemy, że trapez jest równoramienny, więc

∘ ------------------------- ∘ --------- ∘ ---- SD--= SC--= ∘--(−-9-+-14)2-+-(14-−-15)2--= -2-5+--1- = 2-6-= 1. SA SA (− 8 + 14)2 + (− 15 − 15)2 36 + 9 00 936 6

To pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne wierzchołków i . Najpierw wierzchołek .

−S→D = 1-−S→A = 1[6,− 30] = [1,− 5] 6 6 −→ D = S + SD = (− 1 4,15)+ [1 ,− 5 ] = (− 13 ,10).

Teraz wierzchołek .

−→ −→ SB = 6SC = 6[5,− 1] = [30,− 6] −→ B = S + SB = (− 14,15 )+ [30,− 6] = (16,9 ).

Sposób II

Tym razem spróbujemy obejść się bez wektorów. Piszemy najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 15 = − 14a + b − 15 = − 8a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

30 = −6a ⇒ a = − 5.

Stąd b = 15 + 14a = − 55 i prosta ma równanie y = − 5x − 55 . Szukamy teraz na tej prostej punktu D = (x ,−5x − 55) takiego, że

SD 2 = SC 2 (x+ 14)2 + (− 5x− 55− 15)2 = (− 9 + 14)2 + (14 − 15)2 2 2 (x+ 14) + 25(x + 14) = 2 5+ 1 / : 26 (x+ 14)2 = 1 ⇐ ⇒ (x = − 13 ∨ x = − 15).

Łatwo zauważyć, że jeżeli x = − 15 , to punkty i są po różnych stronach punktu , co nie jest możliwe. Zatem x = − 13 , y = − 5x − 55 = 1 0 i D = (− 13 ,1 0) .

Zupełnie analogicznie możemy wyznaczyć współrzędne punktu , ale dla urozmaicenia zrobimy to inaczej – wyznaczymy jako punkt wspólny prostych i . Piszemy najpierw równanie prostej – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i