Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9956525

Rozwiąż nierówność  √ ------ (x − 4) x + 1 < 4− 2x .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zróbmy podstawienie  2 x + 1 = t . Wtedy  2 x = t − 1 i podana nierówność przyjmuje postać.

(t2 − 5)|t| < 4− 2t2 + 2 = 6− 2t2.

Mamy dwa przypadki. Jeżeli t ≥ 0 , to

(t2 − 5)t < 6 − 2t2 3 2 t − 5t < 6 − 2t t3 + 2t2 − 5t− 6 < 0.

Łatwo sprawdzić, że pierwiastkiem tego wielomianu jest t = − 1 . Dzielimy zatem przez dwumian t+ 1 . My zrobimy to grupując wyrazy.

 3 2 3 2 2 t + 2t − 5t− 6 = (t + t ) + (t + t) − (6t+ 6) = = (t+ 1)(t2 + t− 6)

Dalej, Δ = 1 + 24 = 25 , t = − 3 1 , t = 2 2 . Rozwiązaniem tej nierówności jest więc zbiór

(− ∞ ,− 3)∪ (− 1,2).

Ponieważ miało być t ≥ 0 , mamy t ∈ ⟨0,2) . Ponieważ  2 x = t − 1 mamy stąd x ∈ ⟨− 1,3) .

Podobnie w przypadku, gdy t < 0 ,

 − (t2 − 5)t < 6− 2t2 3 2 − t + 5t < 6− 2t t3 − 2t2 − 5t+ 6 > 0.

Tu pierwiastkiem jest t = 1 oraz

 3 2 3 2 2 2 t − 2t − 5t + 6 = (t − t )− (t − t)− 6(t− 1 ) = (t− 1 )(t − t− 6)

Dalej, Δ = 1 + 24 = 2 5 , t1 = − 2 , t2 = 3 . Stąd t ∈ (−2 ,1)∪ (3,∞ ) . Ponieważ t < 0 , więc t ∈ (− 2,0) . Stąd x ∈ (− 1,3) .

Sposób II

Tym razem spróbujemy nierówność sprowadzić do zwykłej nierówności wielomianowej bez podstawiania. Zauważmy na początku, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, czyli x ≥ − 1 . Ponadto jeżeli x ≥ 4 to lewa strona jest nieujemna a prawa ujemna, czyli nierówność nie ma rozwiązań.

Możemy więc założyć, że x ∈ ⟨− 1,4) . Przy takim założeniu lewa strona jest niedodatnia.

Jaki jest znak prawej strony? Jeżeli x ≤ 2 to prawa strona jest nieujmena i nierówność będzie spełniona.

Pozostał nam przypadek x ∈ (2 ,4) . W tej sytuacji obie strony są ujemne, więc mnożąc obie strony przez -1 otrzymamy nierówność z dodatnimi stronami

 √ ------ (4− x) x + 1 > 2x − 4.

Podnosimy nierówność stronami do kwadratu.

 2 2 (4 − x) (x + 1) > 4 (x− 2) 2 2 (16 − 8x + x )(x + 1 ) > 4x − 16x + 16 16x − 8x 2 + x 3 + 1 6− 8x+ x2 > 4x 2 − 16x + 16 3 2 x − 11x + 24x > 0 x(x2 − 11x + 24) > 0 x2 − 11x + 24 > 0 Δ = 121 − 96 = 2 5 x1 = 3, x2 = 8 x ∈ (− ∞ ,3) ∪ (8,∞ ).

Uwzględniając wszystkie rozpatrzone przypadki mamy x ∈ ⟨− 1,3 ) .  
Odpowiedź: x ∈ ⟨− 1,3)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!