Zadanie nr 9956525

Rozwiąż nierówność √ ------ (x − 4) x + 1 < 4− 2x .

Rozwiązanie

Sposób I

Zróbmy podstawienie 2 x + 1 = t . Wtedy 2 x = t − 1 i podana nierówność przyjmuje postać.

(t2 − 5)|t| < 4− 2t2 + 2 = 6− 2t2.

Mamy dwa przypadki. Jeżeli t ≥ 0 , to

(t2 − 5)t < 6 − 2t2 3 2 t − 5t < 6 − 2t t3 + 2t2 − 5t− 6 < 0.

Łatwo sprawdzić, że pierwiastkiem tego wielomianu jest t = − 1 . Dzielimy zatem przez dwumian t+ 1 . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 t + 2t − 5t− 6 = (t + t ) + (t + t) − (6t+ 6) = = (t+ 1)(t2 + t− 6)

Dalej, Δ = 1 + 24 = 25 , t = − 3 1 , t = 2 2 . Rozwiązaniem tej nierówności jest więc zbiór

(− ∞ ,− 3)∪ (− 1,2).

Ponieważ miało być t ≥ 0 , mamy t ∈ ⟨0,2) . Ponieważ 2 x = t − 1 mamy stąd x ∈ ⟨− 1,3) .

Podobnie w przypadku, gdy t < 0 ,

− (t2 − 5)t < 6− 2t2 3 2 − t + 5t < 6− 2t t3 − 2t2 − 5t+ 6 > 0.

Tu pierwiastkiem jest t = 1 oraz

3 2 3 2 2 2 t − 2t − 5t + 6 = (t − t )− (t − t)− 6(t− 1 ) = (t− 1 )(t − t− 6)

Dalej, Δ = 1 + 24 = 2 5 , t1 = − 2 , t2 = 3 . Stąd t ∈ (−2 ,1)∪ (3,∞ ) . Ponieważ t < 0 , więc t ∈ (− 2,0) . Stąd x ∈ (− 1,3) .

Sposób II

Tym razem spróbujemy nierówność sprowadzić do zwykłej nierówności wielomianowej bez podstawiania. Zauważmy na początku, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, czyli x ≥ − 1 . Ponadto jeżeli x ≥ 4 to lewa strona jest nieujemna a prawa ujemna, czyli nierówność nie ma rozwiązań.