/Szkoła średnia/Równania

Zadanie nr 9926005

Dla jakich wartości parametru k miejsca zerowe funkcji 1 2 f (x) = 2x − (k − 1)x + k + 3 należą do przedziału (− 2;5) ?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na początek sprawdźmy, kiedy podana funkcja ma miejsca zerowe.

2 Δ = (k− 1) − 2(k+ 3) ≥ 0 k2 − 2k + 1− 2k− 6 ≥ 0 2 k − 4k − 5 ≥ 0

Łatwo rozwiązać tę nierówność kwadratową, rozwiązaniem jest zbiór

k ∈ (− ∞ ,− 1⟩ ∪ ⟨5,∞ ).

Ponieważ wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych w górę, to podany warunek jest równoważny temu, że wierzchołek paraboli jest zawarty w podanym przedziale oraz wartości funkcji na końcach przedziału są dodatnie (rysunek).

PIC

Mamy zatem układ nierówności

( −b |{ − 2 < xw = 2a-< 5 f (− 2) > 0 |( f (5) > 0 (| { − 2 < k− 1 < 5 2 + 2(k − 1) + k + 3 > 0 |( 25-− 5(k − 1) + k + 3 > 0 ( 2 |{ − 1 < k < 6 | 3k > − 3 ( − 4k > − 421 ( |{ − 1 < k < 6 k > −1 |( 41 k < 8-

Mamy stąd − 1 < k < 418 . W połączeniu z wcześniej wyliczonym warunkiem, kiedy są miejsca zerowe, daje to

41- k ∈ ⟨5, 8 ).

 
Odpowiedź: k ∈ ⟨5, 41) 8

Wersja PDF