/Szkoła średnia/Ciągi/Rekurencyjny/Własności wyrazów ciągu

Zadanie nr 9251303

Ciąg (an) , gdzie n ∈ N + , określony jest następująco:

{ a1 = 2 an+1 = a3n dla n ≥ 1.

Wyznacz wszystkie wartości k , dla których suma k początkowych wyrazów ciągu (an) jest większa od 728 243 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z określenia ciągu (an) jest jasne, że jest to ciąg geometryczny o ilorazie q = 13 . Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego mamy więc do rozwiązania nierówność.

k 728 1 − qk 1 − 1k 3-−k1 3(3k − 1) ----< Sk = a1 ⋅------ = 2⋅-----31 = 2⋅ -32--= ----k----- 243 1− q 1− 3 3 3 728 ⋅3k < 243 ⋅3 ⋅(3k − 1) 728 ⋅3k < 729 ⋅3k − 729 k 729 < 3 36 < 3k 6 < k.

 
Odpowiedź: k ∈ {7,8 ,9,...}

Wersja PDF