/Szkoła średnia/Ciągi/Rekurencyjny/Własności wyrazów ciągu

Zadanie nr 9449977

Ciąg (an) , gdzie n ∈ N + , określony jest następująco:

{ a1 = 64 4an +1 = an dla n ≥ 1.

Wyznacz wszystkie wartości k , dla których suma k początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 1365 16 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z określenia ciągu: 1 an+ 1 = 4an jest jasne, że jest to ciąg geometryczny o ilorazie q = 14 . Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego mamy więc do rozwiązania równanie.

13 65 1− qk 1 − -1 4k−-1 4 (4k − 1 ) ----- = Sk = a1 ⋅------= 64 ⋅----4k = 6 4⋅ -4k--= 6 4⋅---------- 1 6 1 − q 1 − 14 34 3⋅4k k k 136 5⋅3 ⋅4 = 16 ⋅64 ⋅4(4 − 1) 409 5⋅4k = 4096 ⋅4k − 4096 k 409 6 = 4 6 k 4 = 4 6 = k .

 
Odpowiedź: k = 6

Wersja PDF