/Szkoła średnia/Nierówności

Zadanie nr 1442977

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x2 + 2x2y 2 + y 2 ≥ 2(x2y + xy2).
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 2 2 2 2 x + 2x y + y ≥ 2 (x y+ xy ) (x2 − 2x2y + x2y 2) + (y2 − 2xy 2 + x2y2) ≥ 0 2 2 2 2 x (1 − 2y + y ) + y (1 − 2x + x ) ≥ 0 x2(1 − y)2 + y2(1 − x)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF