/Szkoła średnia/Nierówności

Zadanie nr 2209237

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y,z takich, że x ≥ y ≥ z , prawdziwa jest nierówność

x2z+ y2x + z2y ≤ x 2y + y 2z+ z 2x .

Możesz skorzystać z tożsamości

(x − y)(y− z)(z− x) = xy2 + yz 2 + zx 2 − xz 2 − yx 2 − zy2.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że na mocy danego założenia x ≥ y ≥ z mamy

(x − y)(y − z)(z − x) ≤ 0.

Zatem z danej tożsamości mamy

2 2 2 2 2 2 xy + yz + zx − xz − yx − zy ≤ 0 x2z + y2x + z2y ≤ x2y+ y2z+ z2x.
Wersja PDF