Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Nierówności wielomianowe

Najprostsze nierówności wielomianowe to nierówności liniowe i kwadratowe. Ponieważ jednak omówiliśmy je w osobnych poradnikach, skupimy się teraz wyłącznie na nierównościach stopnia co najmniej 3. Proste nierówności Do rozwiązania prostych nierówności wielomianowych na ogół wystarcza odrobina zdrowego rozsądku.

Rozwiążmy nierówność x 3 + 4x 2 ≤ 0 .
Rozkładamy lewą stronę

x3 + 4x 2 = x2(x + 4).

Wyrażenie x2 jest dodatnie o ile x ⁄= 0 . Pamiętamy zatem o dołożeniu na końcu x = 0 do zbioru rozwiązań i możemy nie zwracać uwagi na  2 x (lub jak ktoś woli dzielimy nierówność stronami przez  2 x ). Pozostaje nam więc nierówność

x + 4 ≤ 0 ⇐ ⇒ x ≤ − 4.

Zatem rozwiązaniem jest zbiór (− ∞ ,− 4⟩∪ { 0} .

Rozwiążmy nierówność x4 − 4 > 0 .
Rozkładamy lewą stronę.

 √ -- √ -- x4 − 22 = (x2 − 2)(x2 + 2) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 2).

Ostatni składnik jest dodatni, więc zostaje nam nierówność kwadratowa

 √ -- √ -- (x − 2 )(x + 2) > 0.

Zatem  √ -- √ -- x ∈ (− ∞ ,− 2)∪ ( 2,+ ∞ ) .

Rozwiążmy nierówność 2x3 + x2 + 4x + 2 > 0 .
Zauważmy, że dwa ostatnie współczynniki: 4 i 2 to wielokrotności pierwszych dwóch współczynników: 2 i 1. Taka sytuacja to typowy znak, że możemy coś wyłączyć przed nawias.

 3 2 2 2 0 < 2x + x + 4x + 2 = x (2x + 1 )+ 2(2x + 1) = (x + 2)(2x + 1).

Mamy zatem 2x+ 1 > 0 , czyli x > − 1 2 .

Nierówności stopnia 3 Zanim powiemy jak rozwiązywać dowolną nierówność wielomianową, prześledźmy przypadek nierówności stopnia 3. Jest to najczęściej spotykana sytuacja w zadaniach szkolnych, a ponadto jest to dobre wprowadzenie do ogólnej metody, o której powiemy w dalszej części.

Wielomian stopnia 3 ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek, więc po lekturze poradnika o dzieleniu wielomianów, powinniśmy już umieć go rozłożyć na iloczyn dwumianu (x− a) oraz trójmianu kwadratowego. Żeby nie komplikować sytuacji, powiedzmy, że mamy do rozwiązania nierówność

(x − a )(x 2 + bx+ c) > 0.

Mamy teraz dwie możliwości.

  • Jeżeli trójmian  2 x + bx + c jest zawsze dodatni (czyli Δ < 0 ), to pozostaje nam nierówność x− a > 0 , czyli rozwiązaniem jest zbiór (a,+ ∞ ) .
  • W przeciwnym przypadku, trójmian w nawiasie możemy rozłożyć na czynniki liniowe i dostajemy nierówność
    (x − a)(x− b)(x− c) > 0.

    Jeżeli teraz dwie z tych liczb są równe, np. b = c to mamy czynnik (x − b)2 , który możemy pominąć, o ile tylko x ⁄= b (bo wtedy jest on dodatni). Zatem pozostaje nam nierówność x − a > 0 , czyli x ∈ (a,+ ∞ ) . Na koniec trzeba pamiętać o wyrzuceniu x = b ze zbioru rozwiązań (jeżeli w nim jest).

    Jeżeli natomiast żadne dwie spośród liczb a,b,c nie są równe, powiedzmy, że a < b < c to szkicujemy wykres wielomianu y = (x− a)(x− b)(x − c) i z wykresu odczytujemy rozwiązanie: x ∈ (a,b)∪ (c,+ ∞ ) .


    PIC

Oczywiście opisana przez nas sytuacja nierówności postaci

(x − a )(x 2 + bx+ c) > 0.

nie wyczerpuje wszystkich możliwości (np. słabych nierówności), ale powinno być jasne, że sam schemat się nie zmienia.

Rozwiążmy nierówność  2 (3x + 5 )(4x− x − 4) ≥ 0 .
W drugim nawiasie mamy wzór skróconego mnożenia, czyli

 2 (3x + 5)(− (x− 2) ) ≥ 0 / ⋅(− 1) 2 (3x + 5)(x − 2) ≤ 0.

Oczywiście dla x = 2 jest OK, a dla x ⁄= 2 drugi nawias jest dodatni, więc pozostaje nierówność

3x + 5 ≤ 0 ⇐ ⇒ x ≤ − 5. 3

zatem rozwiązaniem jest zbiór  5 (−∞ ,− 3⟩∪ {2 } .

Rozwiążmy nierówność (x − 3)(2 − x2) ≥ 0 .
Przekształcamy

− (x − 3 )(x2 − 2) ≥ 0 / ⋅(− 1) √ -- √ -- (x− 3)(x− 2)(x + 2) ≤ 0.

Mając teraz w pamięci wykres funkcji postaci y = (x− a)(x− b)(x − c) (obrazek powyżej) odczytujemy rozwiązanie

 √ -- √ -- x ∈ (− ∞ ,− 2⟩∪ ⟨ 2 ,3 ⟩.

Metoda węża Widzieliśmy już kilka przykładów nierówności wielomianowych, więc możemy w końcu przejść do sytuacji ogólnej. Schemat postępowania w tym przypadku rozbijemy na 3 kroki.
1. Pierwszy krok przypomina rozwiązywanie równań wielomianowych: rozkładamy dany wielomian na czynniki liniowe i kwadratowe, które nie mają pierwiastków. Czynniki kwadratowe bez pierwiastków w zasadzie nas nie interesują, bo są albo zawsze dodatnie (więc możemy je pominąć), albo zawsze ujemne (możemy je pominąć zmieniając znak nierówności na przeciwny). Możemy też założyć, że czynniki liniowe są postaci (x− a) , a nie np. (a − x) (jeżeli tak nie jest to zamieniamy każde (a− x) na (x− a) zmieniając znak nierówności na przeciwny). Tak więc po wykonaniu tego kroku możemy założyć, że nasz wielomian jest iloczynem czynników liniowych postaci (x − a) .

W nierówności (2 − x)(2x 2 − 3x+ 5)(x + 3)(x − 2 − x2) ≤ 0 drugi nawias jest zawsze dodatni, a czwarty zawsze ujemny, więc nierówność jest równoważna nierówności postaci

(2 − x )(x+ 3) ≥ 0.

Jeżeli dodatkowo zamienimy kolejność składników w pierwszym nawiasie to mamy nierówność

(x − 2 )(x+ 3) ≤ 0.

2. Może się zdarzyć, że w otrzymanym rozkładzie niektóre czynniki się powtarzają. Jest na to prosta rada: składniki postaci  2n (x − a) są zawsze nieujemne, więc możemy je pominąć, pamiętając tylko o dołączeniu (wyrzuceniu) x = a do (ze) zbioru rozwiązań w przypadku słabej (ostrej) nierówności. Po wykonaniu tego kroku pozostanie nam wielomian postaci y = (x− a )(x− a )⋅⋅⋅(x − an) 1 2 , gdzie każde dwie spośród liczb a i są różne.

W nierówności  5 6 3 (x − 2 ) (x+ 3) (x− 1)(x + 7) > 0 możemy pominąć (tzn. podzielić przez nie nierówność stronami) czynniki (x − 2)4,(x + 3 )6,(x + 7 )2 . Pozostanie nam zatem nierówność

(x− 2)(x − 1)(x + 7) > 0 .

Przekształcenie to ma sens, o ile tylko będziemy pamiętać o wyrzuceniu liczb 2,-3,-7 ze zbioru rozwiązań.

W nierówności  5 6 3 (x − 2) (x + 3 )(x − 1)(x+ 7) ≤ 0 możemy pominąć (tzn. podzielić przez nie nierówność stronami) czynniki  4 6 2 (x − 2) ,(x + 3) ,(x + 7) . Pozostanie nam zatem nierówność

(x− 2)(x − 1)(x + 7) ≤ 0 .

Przekształcenie to ma sens, o ile tylko będziemy pamiętać o dodaniu liczb 2,-3,-7 do zbioru rozwiązań.

3. Po wykonaniu poprzednich dwóch kroków pozostała nam nierówność, w której wielomian ma postać

W (x ) = (x− a1)(x − a2)⋅⋅⋅ (x− an−1)(x − an).

Możemy dodatkowo założyć (zmieniając ewentualnie kolejność nawiasów), że

a1 < a2 < ...< an−1 < an.

Teraz nadeszła pora na tytułowego ża: rysujemy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczby a1,a2,...,an w kolejności od najmniejszej do największej (rysunek ma być schematyczny, odległości między liczbami nie mają żadnego znaczenia, ważna jest tylko ich prawidłowa kolejność na osi).


PIC

Następnie, startując od prawej strony, ciągniemy przez zaznaczone punkty węża, który jest na przemian powyżej i poniżej osi. Pamiętajmy, że startujemy zawsze z prawej strony i powyżej osi. Z tego obrazka odczytujemy rozwiązanie intersującej nas nierówności: fragmenty węża, które są powyżej osi odpowiadają przedziałom, na których W (x) > 0 , a fragmenty poniżej osi przedziałom, na których W (x) < 0 (jeżeli interesuje nas słaba nierówność, to po prostu dołączamy końce przedziałów). Na zakończenie należy uwzględnić ewentualne korekty rozwiązania wynikające z 2. punktu algorytmu (odpowiadające pierwiastkom wielokrotnym).

Rozwiążmy nierówność

(x − 2 )(x + 3)(x− 9)(x + 19)(x − 15)(x + 1 2) ≤ 0.

Rysujemy węża przez pierwiastki lewej strony.
PIC Z węża odczytujemy rozwiązanie

x ∈ ⟨− 19,− 12⟩ ∪ ⟨− 3,2⟩∪ ⟨9,1 5⟩.

Rozwiążmy nierówność  3 8 4 2 (x + 1)(x − 8x + 16)(x − 5) > 0 .
Rozpoczynamy od rozłożenia lewej strony na czynniki.

 3 8 4 2 (x + 1)(x − 8x + 1 6)(x − 5) = 2 4 2 √ -- √ -- = (x + 1 )(x − x + 1)(x − 4) (x− 5)(x + √ 5) = √ -- = (x + 1 )(x 2 − x + 1)(x2 + 2)2(x2 − 2)2(x− 5)(x + 5).

Drugi i trzeci nawias są zawsze dodatnie, a czwarty jest dodatni o ile tylko  √ -- x ⁄= ± 2 . Pamiętamy zatem o wyrzuceniu  √ -- x = ± 2 ze zbioru rozwiązań i otrzymujemy nierówność

 -- -- (x+ 1)(x − √ 5)(x + √ 5) > 0 .

Z węża łatwo odczytać, że  √ -- √ -- x ∈ (− 5,− 1) ∪ ( 5,+ ∞ ) .
PIC Musimy jeszcze wyrzucić z tego zbioru  √ -- x = ± 2 i otrzymujemy rozwiązanie

 √ -- √ -- √ -- √ -- x ∈ (− 5,− 2) ∪ (− 2,− 1)∪ ( 5 ,+ ∞ ).
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.