/Szkoła średnia/Nierówności

Zadanie nr 2939360

Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1 , to -a-- --b- 3+a4 < 3+b4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Aby udowodnić daną nierówność wystarczy wykazać, że funkcja --x- f(x ) = 3+x4 jest malejąca dla x ≥ 1 . Liczymy pochodną tej funkcji

4 3 4 4 f′(x ) = 1-⋅(3+--x-)−--x⋅-4x- = -3−-3x----= 3(1-−-x--). (3 + x 4)2 (3+ x4)2 (3 + x 4)2

Widać teraz, że pochodna funkcji f jest ujemna dla x > 1 , co oznacza, że f jest malejąca w przedziale ⟨1,+ ∞ ) .

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

---a-- --b---- 4 4 3 + a4 < 3+ b4 / ⋅(3 + a )(3 + b ) 4 4 a(3 + b ) < b(3 + a ) 0 < 3(b − a) + ab(a3 − b3) 2 2 0 < − 3(a − b) + ab(a − b)(a + b + ab) 0 < (a − b)(ab(a2 + b2 + ab) − 3) 0 < (a − b)(a3b + ab3 + a2b2 − 3).

Teraz jest jasne, że powyższa nierówność jest prawdziwa, z założenia: a − b > 0 i

3 3 2 2 a b + ab + a b > 1+ 1+ 1 = 3.
Wersja PDF