Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Nierówności kwadratowe

Nierówność kwadratowa to nierówność postaci

ax2 + bx + c > 0, (lub < 0,≥ 0,≤ 0).

Przypomnijmy, że wykresem lewej strony takiej nierówności jest parabola, której ramiona są skierowane do góry dla a > 0 i w dół dla a < 0 . Ponadto

  • parabola nie przecina osi Ox jeżeli Δ < 0 ;
    PIC

  • przecina oś Ox w jednym punkcie jeżeli Δ = 0 ;
    PIC

  • przecina oś Ox w dwóch punktach jeżeli Δ > 0 .
    PIC

Patrząc na powyższe rysunki, bez trudu ustalamy znak wyrażenia ax2 + bx+ c .

  • Jeżeli Δ < 0 to wyrażenie  2 ax + bx + c jest stale dodatnie dla a > 0 i ujemne dla a < 0 .
  • Jeżeli Δ = 0 to wyrażenie  b ax 2 + bx + c = a(x + 2a)2 jest równe 0 dla x0 = − b- 2a i jest dodatnie dla a > 0 (ujemne dla a < 0 ) na zbiorze  -b R ∖ {− 2a} .
  • Jeżeli Δ > 0 i x 1 > x2 są pierwiastkami, to wyrażenie ax2 + bx + c = a(x − x 1)(x− x2) jest dodatnie dla a > 0 (ujemne dla a < 0 ) na zbiorze
    (− ∞ ,x )∪ (x ,+ ∞ ), 1 2

    oraz ujemne dla a > 0 (dodatnie dla a < 0 ) na zbiorze (x 1,x2) .

Nierówność

 2 9x − 5x + 2 > 0

jest zawsze spełniona, gdyż Δ = 25 − 72 < 0 .

Jak to zapamiętać? Na pierwszy rzut oka można czuć się zagubionym w tych wszystkich przypadkach, ale grunt to nie uczyć się tego na pamięć, tylko wypracować system. Przede wszystkim, zawsze możemy nierówność sprowadzić do postaci z dodatnim współczynnikiem przy  2 x – można to łatwo zrobić mnożąc nierówność przez -1. Przy takim założeniu sprawa zaczyna być prosta.

Funkcja kwadratowa jest ujemna między pierwiastkami i dodatnia na zewnątrz od pierwiastków.

W zasadzie to jest wszystko co trzeba pamiętać. Przypadki Δ < 0 i Δ = 0 też podpadają pod tę formułkę – dla Δ < 0 nie ma pierwiastków i funkcja jest cały czas dodatnia, a dla Δ = 0 funkcja jest dodatnia na zewnątrz od jedynego pierwiastka.

Spróbujmy rozwiązać nierówność

x− x2 + 2 ≥ 0 / ⋅ (−1 ) 2 x − x− 2 ≤ 0 Δ = 1 + 8 = 9 ⇒ x1 = − 1, x2 = 2 x ∈ ⟨− 1,2⟩.

Rozwiążmy nierówność

 2 4x − 12x + 9 > 0 3- Δ = 144 − 144 = 0 ⇒ x0 = 2 { } x ∈ R ∖ 3- . 2
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.