Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne są ze sobą bardzo blisko związane i dlatego omówimy je w jednym poradniku. Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci y = ax , gdzie a > 0 i a ⁄= 1 . Dziedziną funkcji wykładniczej jest cały zbiór liczb rzeczywistych.


PIC


Jeżeli a > 1 to funkcja wykładnicza jest rosnąca i rośnie od 0 do + ∞ . Jeżeli natomiast a < 1 , to funkcja jest malejąca i maleje od + ∞ do 0.

W obu przypadkach wykres funkcji wykładniczej przecina oś Oy w punkcie (0,1) . Funkcja logarytmiczna Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci y = lo gax , gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią i a ⁄= 1 . Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.


PIC


Dla a > 1 funkcja y = loga x jest funkcją rosnącą i rośnie od − ∞ do + ∞ . Dla a < 1 funkcja y = logax jest funkcją malejącą i maleje od + ∞ do − ∞ .

W obu przypadkach wykres funkcji logarytmicznej przecina oś Ox w punkcie (1,0) . Związek funkcji wykładniczej z funkcją logarytmiczną Funkcja logarytmiczna f(x) = loga x jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej g(x ) = ax , tzn.

f(g(x )) = loga ax = x , log x g(f(x )) =a a = x.

O funkcji odwrotnej należy myśleć tak: jeżeli traktujemy funkcję g(x) = 2x jako maszynkę, która zamienia liczbę x na liczbę g(x) , czyli 2 na 4, 4 na 16, 10 na 1024 itd., to funkcja odwrotna f(x) = lo g x 2 zamienia te liczby w drugą stronę: 4 na 2, 16 na 4, 1024 na 10.

Na wykresie ten związek przejawia się symetrią: wykresy funkcji  x a i lo gax są symetryczne względem prostej y = x .


PIC


Jeżeli popatrzymy na wykres logarytmu to widać, że logarytm rośnie/maleje (w zależności od a ) na początku szybko (powiedzmy do x = 1 ), a potem bardzo wolno. Odpowiada to temu, że funkcja wykładnicza rośnie/maleje wolno dla y < 1 i bardzo szybko dla y > 1 .

Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.