/Szkoła średnia/Nierówności

Zadanie nr 9675808

Wykaż, że jeśli x,y ∈ R to ∘ x2+y2- x+y --2-- ≥ --2- .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli prawa strona jest ujemna to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że x+ y ≥ 0 . Przy tym założeniu możemy nierówność przekształcić w sposób równoważny podnosząc ją stronami do kwadratu.

( ) x2-+-y2- x-+-y- 2 x2-+-2xy-+-y-2 2 ≥ 2 = 4 / ⋅4 2x2 + 2y2 ≥ x 2 + 2xy + y2 2 2 x − 2xy + y ≥ 0 (x− y)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF