/Szkoła średnia/Nierówności

Zadanie nr 9957911

Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1 , to -a-- --b- 2+a3 < 2+b3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Aby udowodnić daną nierówność wystarczy wykazać, że funkcja f(x ) = --x3 2+x jest malejąca dla x ≥ 1 . Liczymy pochodną tej funkcji

1 ⋅(2+ x3)− x⋅ 3x2 2− 2x 3 2(1 − x 3) f′(x ) = ------------3-2----- = ------3-2-= -------3-2. (2 + x ) (2+ x ) (2 + x )

Widać teraz, że pochodna funkcji f jest ujemna dla x > 1 , co oznacza, że f jest malejąca w przedziale ⟨1,+ ∞ ) .

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

--a--- ---b--- 3 3 2+ a 3 < 2 + b3 / ⋅(2+ a )(2+ b ) 3 3 a(2 + b ) < b(2+ a ) 0 < 2(b− a)+ ab(a2 − b2) 0 < − 2(a− b)+ ab (a− b)(a+ b) 0 < (a− b )(ab(a+ b)− 2) 2 2 0 < (a− b )(a b+ ab − 2).

Teraz jest jasne, że powyższa nierówność jest prawdziwa, bo z założenia: a − b > 0 i a2b+ ab2 > 1+ 1 = 2 .

Wersja PDF