/Szkoła średnia/Nierówności

Zadanie nr 9983578

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c i d prawdziwa jest nierówność

∘ ------- ∘ ------- ac + bd ≤ a2 + b2 ⋅ c2 + d2.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny – obie strony są dodatnie, więc możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.

∘ ------- ∘ ------- ac + bd ≤ a2 + b2 ⋅ c2 + d2 /()2 2 2 2 2 2 (ac + bd) ≤ (a + b )(c + d ) a2c2 + b2d2 + 2abcd ≤ a2c2 + a2d2 + b2c2 + b 2d 2 2 2 2 2 0 ≤ a d + b c − 2abcd 0 ≤ (ad− bc)2.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Wersja PDF