/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Miejsca geometryczne punktów

Zadanie nr 1333747

Dana jest prosta k o równaniu x + y − 12 = 0 oraz punkt M (− 5;9) wyznacz na prostej k takie punkty P i R aby |MP | = |P R| = 8 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy sobie podaną sytuację i robi się jasne, że aby wzynaczyć punkt P , musimy znaleźć punkty wspólne podanej prostej i okręgu o środku M = (− 5,9) i promieniu 8.

PIC

Równanie tego okręgu to

(x + 5)2 + (y − 9)2 = 64.

Musimy rozwiązać układ równań

{ y = −x + 12 (x + 5)2 + (y − 9)2 = 64 ,

który prowadzi do równania

2 2 (x + 5 ) + (−x + 12 − 9) = 64 (x + 5 )2 + (−x + 3)2 = 6 4 2 2 x + 10x + 25+ x − 6x + 9 = 64 2 2x + 4x + 34 = 64 2x 2 + 4x − 30 = 0 2 x + 2x − 15 = 0.

Liczymy dalej, Δ = 4 + 60 = 64 = 82 , x = − 5 lub x = 3 . Stąd y = 17 i y = 9 odpowiednio. Otrzymaliśmy zatem dwa punkty P 1 = (− 5,17) lub P = (3,9) 2 . Dla każdego z nich musimy znaleźć punkt R , tak aby P R = 8 .
Dla P 1 = (− 5,17) .
Szukamy punktu R = (x,−x + 12 ) takiego, że P1R = 8 . Liczymy (ze wzoru na odległość dwóch punktów)

∘ ---------------------------- 2 2 2 8 = (x + 5 ) + (−x + 12 − 17 ) /() 64 = x2 + 10x + 25+ x2 + 10x + 25 0 = 2x2 + 20x − 14 2 0 = x + 10x − 7 .

Liczymy dalej Δ = 1 28 = 2 ⋅64 ,

√ -- √ -- x1 = −-10-−-8--2-= − 5 − 4 2 2 √ -- − 10 + 8 2 √ -- x2 = ------------= − 5 + 4 2 2

wtedy odpowiednio

√ -- y = 17 + 4 2 1 √ -- y2 = 17 − 4 2

Podobnie wyliczamy punkty R dla P2 = (3,9) .

∘ --------------------------- 2 8 = (x − 3)2 + (−x + 12 − 9)2 / () 2 2 64 = x − 6x + 9 + x − 6x + 9 0 = 2x2 − 12x − 46 0 = x2 − 6x− 23.

Dalej, Δ = 128 ,

√ -- 6−--8--2- √ -- x1 = 2 = 3 − 4 2 √ -- √ -- x2 = 6+--8--2-= 3 + 4 2 2

wtedy odpowiednio

√ -- y1 = 9 + 4 2- y = 9 − 4√ 2. 2

 
Odpowiedź: √ -- √ -- P = (− 5,17),R = (3− 4 2,9 + 4 2) lub √ -- √ -- P = (3,9),R = (3+ 4 2,9 − 4 2)

Wersja PDF